f'(x)>0 với mọi x khác -8, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên [0;3].

Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [0;3] là (-m^2)/8. Ta có: (-m^2)/8=2.

Suy ra, không có giá trị nào của số thực m thỏa yêu cầu đề bài.

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+10x+16}{x}=x+\dfrac{16}{x}+10\ge2\sqrt{\dfrac{16x}{x}}+10=14\)

\(f\left(x\right)_{min}=14\) khi \(x=4\)

Dễ thấy: \(f\left(x\right)=\left(x+m-1\right)^2-m^2+5m-6\ge-m^2+5m-6\)

Giá trị nhỏ nhất của f(x) đạt lớn nhất tức \(-m^2+5m-6\) đạt lớn nhất

Mà \(g\left(m\right)=-m^2+5m-6=-\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

g(m) đạt lớn nhất khi m=5/2

m cần tìm là 5/2

Ta có:

Khi \(x\in\left[-3;0\right]\) thì \(f\left(x\right)\in\left[-4;5\right]\) (dùng BBT)

Lại có:

\(y=f\left(f\left(x\right)\right)=f^2\left(x\right)+6f\left(x\right)+5\) 

Khi \(f\left(x\right)\in\left[-4;5\right]\) thì \(f\left(f\left(x\right)\right)\in\left[-4;60\right]\) (dùng BBT)

Do đó, \(m=-4\Leftrightarrow f\left(x\right)=-3\Leftrightarrow x=-2\)

và \(M=60\Leftrightarrow f\left(x\right)=5\Leftrightarrow x=0\)

\(\Rightarrow S=m+M=-4+60=56\)

\(f\left(x\right)=x+\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(x-1\right)}{x-1}}+1=2\sqrt{2}+1\)

\(f\left(x\right)_{min}=2\sqrt{2}+1\)

Ta có: \(f\left(x\right)=x+\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\)

Vì x > 1 nên x - 1 > 0 và \(\dfrac{2}{x-1}>0\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương \(x-1;\dfrac{2}{x-1}\) ta được:

\(x-1+\dfrac{2}{x-1}\ge2.\sqrt{x-1.\dfrac{2}{x-1}}=2\sqrt{2}\)

\(=>f\left(x\right)=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\ge2\sqrt{2}+1\)

⇒ Giá trị bé nhất của f(x) là 2√2 + 1 .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = \(\dfrac{2}{x-1}\) và x > 1 ⇔ x = 1 + √2

\(f\left(x\right)=x\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\)