chuyển vế rồi bình phương 2 về được.

\(2-2x\sqrt{2}+x^2=1-2x\sqrt{2}+2x^2\)

<=> x² -1 = 0

<=> x       = +_- 1

1.

\(2x+1\ge0\Rightarrow x\ge-\dfrac{1}{2}\)

Khi đó pt đã cho tương đương:

\(x^2+2x+2m=\left(2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2m=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+1=2m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^2+2x+1\) trên \([-\dfrac{1}{2};+\infty)\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{3}< -\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{3}< 2m\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}< m\le\dfrac{3}{8}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{8}\)

3.

Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{t}\\x=-\sqrt{t}\end{matrix}\right.\)

Pt trở thành: \(t^2-3mt+m^2+1=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=9m^2-4\left(m^2+1\right)>0\\t_1+t_2=3m>0\\t_1t_2=m^2+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Ta có:

\(M=x_1+x_2+x_3+x_4+x_1x_2x_3x_4\)

\(=-\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}+\left(-\sqrt{t_1}\right)\left(-\sqrt{t_2}\right)\sqrt{t_1}.\sqrt{t_2}\)

\(=t_1t_2=m^2+1\) với \(m>\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

2.

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

Pt tương đương:

\(-x^2+4x-3=2m+3x-x^2\)

\(\Leftrightarrow x=2m+3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(1\le2m+3\le3\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=1\)

a, ĐK: \(x\le-1,x\ge3\)

\(pt\Leftrightarrow2\left(x^2-2x-3\right)+\sqrt{x^2-2x-3}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-2x-3}+3\right).\left(\sqrt{x^2-2x-3}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-2x-3}=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\\\sqrt{x^2-2x-3}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\left(tm\right)\)

b, ĐK: \(-2\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=t\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}\)

Khi đó phương trình tương đương:

\(3t-t^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=0\\\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2+x=8-4x\\2+x=17-4x+12\sqrt{2-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{5}\left(tm\right)\\5x-15=12\sqrt{2-x}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(-2\le x\le2\Rightarrow5x-15< 0\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{6}{5}\)

c, ĐK: \(0\le x\le9\)

Đặt \(\sqrt{9x-x^2}=t\left(0\le t\le\dfrac{9}{2}\right)\)

\(pt\Leftrightarrow9+2\sqrt{9x-x^2}=-x^2+9x+m\)

\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+9x\right)+2\sqrt{9x-x^2}+9=m\)

\(\Leftrightarrow-t^2+2t+9=m\)

Khi \(m=9,pt\Leftrightarrow-t^2+2t=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}9x-x^2=0\\9x-x^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=9\left(tm\right)\\x=\dfrac{9\pm\sqrt{65}}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình \(m=f\left(t\right)=-t^2+2t+9\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow minf\left(t\right)\le m\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{9}{4}\le m\le10\)

Đặt 

Ta có 

Thay  vào ta được

Vậy nghiệm của phương trình là 

TXĐ: \(x>-4\)

Khi đó BPT tương đương:

\(x^2+2x>3\Leftrightarrow x^2+2x-3>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -3\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của BPT là: \(\left[{}\begin{matrix}x>1\\-3< x< -3\end{matrix}\right.\)