1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.

a) Đặt UCLN (2n+1;2n+3)=d

TC UCLN(2n+1;2n+3)=d

=>\(\hept{\begin{cases}2n+1:d\\2n+3:d\end{cases}}\)

=>(2n+3)-(2n+1):d

=>2:d

=>d e U(2)={1;2}

Mà 2n+1 lẻ=> d lẻ=>d=1

b) 

Đặt UCLN (2n+5;3n+7)=d

TC UCLN(2n+5;3n+7)=d

=>\(\hept{\begin{cases}2n+5:d=>6n+15:d\\3n+7:d=>6n+14:d\end{cases}}\)

=>(6n+15)-(6n+14):d

=>1:d

=>d=1

phần c bạn tự làm nốt nhé

học tốt nhé

bạn chờ mình chút

a) Gọi d là UCLN của 3n+4 và 2n+3, suy ra: 
3n+4 chia hết cho d ; 2n+3 chia hết cho d 
+ Ta có : 2.(3n+4) chia hết cho d ( mình kí hiệu là dấu : nha )
=> 6n+8 : d      (1)
Lại có : 3.(2n+3) :d 
=> 6n+9 : d      (2)
+ Từ 1 và 2 => 6n+9 - 6n - 8 :d

=> 1 : d

=> 3n+4 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau
Phần b tương tự, kk cho mìnhh nha

a) Gọi d là UCLN của 3n+4 và 2n+3, suy ra: 
3n+4 chia hết cho d ; 2n+3 chia hết cho d 
+ Ta có : 2.(3n+4) chia hết cho d ( mình kí hiệu là dấu : nha )
=> 6n+8 : d      (1)
Lại có : 3.(2n+3) :d 
=> 6n+9 : d      (2)
+ Từ 1 và 2 => 6n+9 - 6n - 8 :d

=> 1 : d

=> 3n+4 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau

a: Gọi d=ƯCLN(6n+5;2n+1)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\6n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow6n+5-6n-3⋮d\)

=>\(2⋮d\)

mà 2n+1 là số lẻ

nên d=1

=>2n+1 và 6n+5 là hai số nguyên tố cùng nhau

b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(15n+10-15n-9⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>3n+2 và 5n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN(2n+1;6n+5)

=>2n+1 chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>3(2n+1) chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>6n+3 chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>(6n+5)-(6n+3) chia hết cho d

=>2 chia hết cho d =>ƯCLN(2n+1;6n+5) thuộc 1 hoặc 2

Nhưng loại 2 vì 2 số 2n+1 và 6n+5 là số lẻ nên không có ƯCLN là số chẳn => ƯCLN(2n+1;6n+5)=1 nên 2 số này là 2 số nguyên tố cùng nhau.

a, Gọi ƯCLN(5n + 3, 3n + 2) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}5n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+9⋮d\\15n+10⋮d\end{cases}}}\) 

=> 15n + 10 - (15 n + 9) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc {1;-1}

Vậy...

b, Gọi ƯCLN(4n + 3, 6n + 4) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+9⋮d\\12n+8⋮d\end{cases}}}\)

=> 12n + 9 - (12n + 8) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc {1;-1}

Vậy...

c, Gọi ƯCLN(12n + 5, 5n + 2) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}12n+5⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+25⋮d\\60n+24⋮d\end{cases}}}\)

=> 60n + 25 - (60n + 24) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = {1;-1}

Vậy... 

Gọi d là ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2

Khi đó : 5n + 3 chia hết cho d , 3n + 2 chia hết cho d

=> 15n + 9 chia hết cho d , 15n + 10 chia hết cho d

=> 15n + 10 - 15n - 9 = 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy 5n + 3 và 3n + 2 nguyên tố cùng nhau .  

Gọi ƯCLN của 5n +3 và 3n +2 là d

Ta có:

\(5n+3⋮d\)\(\Rightarrow15n+9⋮d\)

\(3n+2⋮d\)\(\Rightarrow15n+10⋮d\)

Vây 1 \(⋮d=>d=1\)

Vậy các số trên nguyên tố cùng nhau.

\(b,4n+3;6n+4\)

Gọi ƯCLN của 4n+3 và 6n+4 là d

Ta cs: 

\(4n+3⋮d\Rightarrow12n+9⋮d\)

\(6n+4⋮d\Rightarrow12n+8⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy các số trên nguyên tố cùng nhau.

gọi  UCLN﴾2n + 1 ; 6n + 5﴿ là d 

ta có :

2n + 1 chia hết cho d =>3(2n+1) chia hết cho d=>6n+3 chia hết cho d

6n + 5 chia hết cho d

=> [﴾6n + 5﴿ ‐ ﴾6n + 3﴿] chia hết cho d

=>2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư﴾2﴿ = {1;2}

Mà 2n + 1 ; 6n + 5 lẻ nên n = 1

=>UCLN(..)=1

=>ntcn