Lời giải:
Vì $x+1, y+2013$ chia hết cho $6$ nên đặt $x+1=6k, y+2013=6m$ với $k,m\in\mathbb{N}^*$ 

Khi đó:

$4^{x}+x+y=4^{6k-1}+6k-1+6m-2013$

$=4^{6k-1}-2014+6(k+m)$

Vì $4\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{6k-1}\equiv 1^{6k-1}\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{6k-1}-2014\equiv 1-2014\equiv -2013\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 4^{6k-1}-2014\vdots 3$

Mà $4^{6k-1}-2014$ chẵn với mọi $k\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow 4^{6k-1}-2014\vdots 6$

Kết hợp với $6k+6m\vdots 6$

$\Rightarrow 4^x+x+y=4^{6k-1}-2014+6k+6m\vdots 6$ (đpcm) 

KHÔNG CHIA HẾT ĐƯỢC ĐÂU

Nếu x + 1 chia hết cho 6 

=> x = 5

Nếu y + 2013 chia hết cho 6 

=> y = 3

Vì x = 5 , y = 3

=>\(4^5\)+ 5 + 3 = \(4^x\)+ x + y

=> 512 + 5 + 3 = 520

520 k chia hết cho 6

=> Đề sai @@

Ta có: x+1 và y+2013 chia hết cho 6

=> x + 1 và y + 2013 thuộc B( 6)

=> B(6) = {0;6;12;18;......;}
=> x + 1 = {0;6;12;18;......;}
=> x = {-1;5;11;17;......}

=> y + 2013 ={0;6;12;18;......;}

=> y = {-2013;-2007;-2001;-1995;...........}