Ta cm được: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Min A = 1/3 khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta có:

\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" khi x=y=z=1

xin cho mình hỏi sao x+y+z lại\(\ge\)xy+yz+zx vậy

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=>\(\left(a+b+c\right)^2\ge9\)

<=>\(a+b+c\ge3\)

Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)

\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\) 

(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))

\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)

\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))

Vậy ta có đpcm.

Bài này có nhiều cách, xin phép làm 2 cách đơn giản. Tuy nhiên ở cách 2 tính sai chỗ nào thì tự check:) (chắc ko sai đâu:v đừng lo quá mức)

Cách 1: \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(2x^2+2z^2\ge4xz\)

\(2y^2+2z^2\ge4yz\)

Cộng theo vế 3 bđt trên kết hợp giả thiết suy ra \(S\ge10\)

Cách 2:

Xét \(S-2\left[xy+2yz+2zx\right]\)

\(=\left(x-y\right)^2+2\left(y-z\right)^2+2\left(z-x\right)^2\ge0\)

Do đó...

Tuy nhiên, sau đây mới là cách phân tích ngắn nhất chỉ với 2 bình phương không âm!

Ta có:\(S-2\left[xy+2\left(yz+zx\right)\right]\)\(=2\left(x-y\right)^2+\left(x+y-2z\right)^2\ge0\)

Vậy \(S\ge10\). It's verry beautiful!

\(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}=\dfrac{x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{xyz}=\dfrac{-3xyz}{xyz}=-3\)

đề cho xy+yz+xz=0 nhân cả 2 vế với -z

=>-xyz-\(z^2\left(y+x\right)\)=0

=>-xyz=\(z^2x+z^2y\)

cmtt bạn nhân với -y và -z

=>-3xyz=\(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\)