a) 2 số đó có dạng a ; a + 1

ĐẶt UCLN(a ; a + 1) = d

a chia hết cho d

a + 1 chia hết cho d 

=> [(a + 1) - a] chia hết cho d

1 chia hết cho d => d = 1

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau

Tương tự 

a) ) Gọi d là ƯC (n, n + 1)=>  (n + 1) - n   chia hết cho d=>  d = 1. Vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

a: Gọi a=UCLN(2k+1;2k+3)

\(\Leftrightarrow2k+3-2k-1⋮a\)

\(\Leftrightarrow2⋮a\)

mà 2k+1 là số lẻ

nên a=1

=>2k+1 và 2k+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

b: Gọi a=UCLN(n+1;n+2)

\(\Leftrightarrow n+2-n-1⋮a\)

\(\Leftrightarrow1⋮a\)

=>a=1

=>n+1 và n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

Câu 1: 2n + 5 và 3n + 7

    Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 5 và 3n + 7 là d

        Theo bài ra ta có: 

         \(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\3n+7⋮d\end{matrix}\right.\)

     ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}6n+15⋮d\\6n+14⋮d\end{matrix}\right.\)

          6n + 15 -  6n  - 14 ⋮ d

                                    1 ⋮ d

         ⇒ d = 1

Vậy ước chung lớn nhất của 2n + 5 và 3n + 7 là 1

Hay 2n + 5 và 3n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

gọi 2.n +1 là một số lẻ bất kì (n thuộc N )

suy ra 2n +1 và 2n+3 là 2 số lẻ liên tiếp  

gọi d thuoocj vào ƯC(2n+1,2n+3 )  (d thuộc N*)

suy ra 2n+1 và 2n+3 chia hết cho d 

suy ra [(2n+3) - (2n+1)] chia hết cho d 

suy ra 2 chia hết cho d

suy ra d thuộc Ư(2) ={1;2}

 suy ra d khác 2 (vì  2n+1 và 2n+3 là các số lẻ )

suy ra d =1 

suy ra ƯC (2n+1 ,2n+3 ) =1

suy ra UWCLN (3n+1 , 2n+3) =1

suy ra 2n +1 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau 

vậy 2 số lẻ liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau . 

gọi 2.n +1 là một số lẻ bất kì (n thuộc N )

suy ra 2n +1 và 2n+3 là 2 số lẻ liên tiếp  

gọi d thuoocj vào ƯC(2n+1,2n+3 )  (d thuộc N*)

suy ra 2n+1 và 2n+3 chia hết cho d 

suy ra [(2n+3) - (2n+1)] chia hết cho d 

suy ra 2 chia hết cho d

suy ra d thuộc Ư(2) ={1;2}

 suy ra d khác 2 (vì  2n+1 và 2n+3 là các số lẻ )

suy ra d =1 

suy ra ƯC (2n+1 ,2n+3 ) =1

suy ra UWCLN (3n+1 , 2n+3) =1

suy ra 2n +1 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau 

vậy 2 số lẻ liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau . 

a) Gọi 2 số tự nhiên là a,a+1 và (a;a+1)=d

Ta có: a chia hết cho d

a+1 chia hết cho d

=> (a+1)-a =1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)={1}

Vậy d=1

=> 2 số tự nhiên là 2 số nguyên tố cùng nhau

b) Gọi 2 số lẻ liên tiếp là a ;a+2 và (a;a+2)=d

Ta có: a chia hết cho d

a+2 chia hết cho d

=> (a+2)-a=2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(2)={1;2}

Và a và a+2 ;à 2 số lẻ liên tiếp nên d ko =2 => d=1

=> 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau

a) Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2a + 1 và 2a + 3,ước chung là d( \(d\ne2\)).Ta có :

2a + 1 ; 2a + 3 đều chia hết cho d => (2a + 3) - (2a + 1) = 2 .^: d => d = 1 => 2a + 1 ; 2a + 3 nguyên tố cùng nhau

b) Gọi ước chung của 2n + 5 và 3n + 7 là d.Ta có :

2n + 5 .^: d => 3(2n + 5) = 6n + 15 .^: d

3n + 7 .^: d => 2(3n + 7) = 6n + 14 .^: d

=> (6n + 15) - (6n + 14) = 1 .^: d => d = 1 => 2n + 5 ; 3n + 7 nguyên tố cùng nhau

gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2a+1 và 2a+3 ƯC là d ta có :

2a+1 ;2a+3 đều chia hết cho d => (2a+3)-(2a+1)=2 .^: d =>2a+1;2a+3 nguyên tố cùng nhau

b)gọi ƯC của 2n+5 và 3n+7 là d ta có

2n+5.^: d => 3(2n+5)=6n+15.^:

3n+7.^:d => 2(3n+7)=6n+14.^:d

=> (6n+15)-(6n+14)=1.^:d =>d=1 =>2n+5 ; 3n+7 nguyên tố cùng nhau

a, Ta phải chứng minh  ƯCLN(2n+1 ; 2n+3)=1

đặt : ƯCLN(2n+1;2n+3)=d

Suy ra : 2n+1 chia hết cho d 

           2n+3 chia hết cho d

Nên (2n+3) - (2n+1) chia hết cho d Hay 2 chia hết cho d 

 => d thuộc Ư(2)={1;2}

loại d=2 (vì d khác 2)

=> d = 1

Vậy 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp nhau là 2 số nguyên tố cùng nhau

b, Gọi ƯCLN ( 2n+5 ; 3n+7)=p

Suy ra : 2n+5 chia hết cho p Hay 3.(2n+5)=6n+15 chia hết cho p

       3n+7 chia hết cho p Hay 2.(3n+7)=6n+14 chia hết cho p

Nên : (6n+15) - (6n+14) chia hết cho p hay 1chia hết cho p

=>p= 1 

vậỷ 2n+5 và 3n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.