m²+mn+n²

=m²-2mn+n²+3mn

=(m-n)²+3mn chia hết cho 9

3mn chia hết cho 3

=>(m-n)² chia hết cho 3

=>(m-n)² chia hết cho 9

=>3mn chia hết cho 9

=>mn chia hết cho 3

=>m hoặc n chia hết cho 3

do tính chất của m;n tương đương nhau nên giả sử m chia hết cho 3

m-n chia hết cho 3

=>n chia hết cho 3

=>điều kiện cần và đủ để m^2+m.n+n^2 chia hết cho 9 là m,n chia hết cho 3

=>đpcm

Điều kiện cần:

(ký hiệu | nghĩa là "chia hết cho") 
Nếu m và n đều | 3 thì m² , n² và m.n đều | 9 nên m²+n²+mn sẽ | 9 
Điều kiện đủ:

Nếu m²+n²+mn | 9 ta sẽ cm m,n | 3 
Ta có: m²+n²+mn = (m-n)² + 3mn 
=> 3mn | 9 <=> mn | 3 (1) 
Mà (m-n)² | 9 nên m-n | 3 (2) 
Kết hợp (1) và (2) suy ra m,n đều | 3 

Nguyễn Thiều Công Thành nhờ Bui Cam Lan Bui ra bài toán này !              

Bạn vô chữ màu xanh này đi

Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

Hồ Phú Nhật ko lm mà đòi tick

♥ ĐK cần: (ký hiệu | nghĩa là "chia hết cho") 
Nếu m và n đều | 3 thì m² , n² và m.n đều | 9 nên ²+n²+mn sẽ | 9 
♥ĐK đủ: Nếu m²+n²+mn | 9 ta sẽ cm m,n | 3 
Ta có: m²+n²+mn =(m-n)² +3mn 
3mn | 9 <=> mn | 3 (1) 
mà (m-n)² | 9 nên m-n | 3 (2) 
Kết hợp (1) và (2) suy ra m,n đều | 3 
1/Nhận xét A là số nguyên. 
Bạn Linh tính đúng nhưng kết quả hơi nhầm chút, phải là: A = (-7^2008 -7)/8 = -7(7^2007+1)/8 
Ta sẽ cm 7^2007 +1 | 43 
7^2007 + 1 = (7³)^669 +1 = 343^669 +1 = (343+1)(343^668 - ....+1) 
= 344.(343^668 - ....+1) 
Mà 344 | 43 nên 7^2007 +1 |43 (đpcm)

Nhớ thanks nha!

   m² + mn + n²

= m² - 2mn + n² + 3mn

= (m - n)² + 3mn \(⋮\)9

mà 3mn \(⋮\)3

\(\Rightarrow\)(m - n)² \(⋮\)3

\(\Rightarrow\)(m - n)² \(⋮\)9

\(\Rightarrow\)3mn \(⋮\)9

\(\Rightarrow\)mn \(⋮\)3

\(\Rightarrow\)m hoặc n \(⋮\)3

Giả sử:  \(m⋮3\)

\(\Rightarrow\)m - n \(⋮\)3n

\(\Rightarrow\)m , n \(⋮\)3

Vậy m , n \(⋮\)3 (điều phải chứng minh)

(Đừng có bảo tui ăn cắp hay copy ở đâu nhá, mệt lắm, có lần thi thử vào bài này làm gần chết mới đúng à!)

\(m^2+mn+n^2\)

\(=m^2-2mn+n^2+3mn\)

\(=\left(m-n\right)^2+3mn⋮9\)

\(Vì3mn⋮3\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)^2⋮3\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)^2⋮9\)

Đến đây bạn tự làm nhé~~

Happy Tippie Cat sai 3 chỗ

1,Đề bài yêu cầu tìm điều kiện cần và đủ thì bạn phải chứng minh có GT thì có điều kiện và ngược lại

2 , Không dùng suy ra mà dùng tương đương do đang chứng minh điều kiện cần

3, Phần giả sử không đúng

Để A lớn nhất thì \(\frac{-x+14}{-x+4}=1+\frac{10}{-x+4}=A\)cũng phải lớn nhất

=>10/-x+4 lớn nhất

=>-x+4 =số nguyên dương nhỏ nhất

-x+4=1

-x=-3

x=3

Vậy với x=3 thì A đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là 11

Xem lại đề bài đi em nhé. Có vẻ nó không đúng đâu.

Em sủa lại thành bài khác rồi ạ

\(A=\left(-7\right)+\left(-7\right)^2+......+\left(-7\right)^{2006}+\left(-7\right)^{2007}\)
\(=\left[\left(-7\right)+\left(-7\right)^2+\left(-7\right)^3\right]+\left[\left(-7\right)^4+\left(-7\right)^5+\left(-7\right)^6\right]+.......\) \(+\left[\left(-7\right)^{2005}+\left(-7\right)^{2006}+\left(-7\right)^{2007}\right]\)
\(=\left(-7\right)\left[1+\left(-7\right)+\left(-7\right)^2\right]+......+\left(-7\right)^{2005}\left[1+\left(-7\right)+\left(-7\right)^2\right]\)
\(=\left(-7\right).43+\left(-7\right)^3.43+......+\left(-7\right)^{2005}.43\)
\(=43\left[\left(-7\right)+\left(-7\right)^3+.....+\left(-7\right)^{2005}\right]\).
Suy ra A chia hết cho 43.

A=(-7+-7^2+-7^3)+.....+(-7^2005+-7^2006+-7^2007)

A=-7(1+-7+-7^2)+.....+-7^2005(1+-7+-7^2)

A=-7.43+....+-7^2005.43\(⋮\)43\(\Rightarrow\)dpcm

b)\(m^2-2mn+n^2+3mn\)

=\(\left(m-n\right)^2+3mn⋮9\)

=\(3mn⋮3\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)^2⋮3\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)^2⋮9\)

\(\Rightarrow3mn⋮9\)

\(\Rightarrow mn⋮3\)

\(\Rightarrow\)m hoạc n\(\)\(⋮\)3

Giả sử m\(⋮\)3,m-n\(⋮\)

\(\Rightarrow\)n\(⋮3\)

\(\Rightarrow\)dpcm