C-S với Bunhia là 1 và là 1 trg hợp của Holder dạng 2 số \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

AM-GM ng` việt gọi là cô si dạng 2 số \(a^2+b^2\ge2ab\)

Mincopski dạng 2 số \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}\)

* BĐT Cauchy - Schwars = BĐT Bunhiacopxki

- Thông thường :

( a² + b² )(c² + d² ) \(\ge\left(ac+bd\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra tại : \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

- Tổng quát với các bộ số : a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n và : b₁ , b₂ , ... , b_n

(a₁² + a₂² + ... + a_n²)(b₁² + b₂² + ... + b_n² ) \(\ge\left(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\right)\)

Dấu "=" xảy ra tại : \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}\)

* BĐT AM-GM

- trung bình nhân (2 số)

với a,b \(\ge0\) , ta luôn có : \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) . Dấu "=" xảy ra tại a=b

- Trung bình nhân ( n số )

Với x₁ , x₁ , x₃ ,..., x_n \(\ge0\)

Ta luôn có : \(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2.....x_n}\)

Dấu "=" xảy ra khi x₁ = x₂ =...=x_n

-Trung bình hệ số :

Với các bộ số : x₁ , x₁ , x₃ ,..., x_n \(\ge0\)và a₁, a₂ , a₃ ,... , a_n ( a₁ , a₂ ,..., a_n) là c₁ác hệ số

Ta có : \(\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a}\ge\sqrt[a]{x_1^{a_1}.x_2^{a_2}.....x_n^{a_n}}\)

Dấu "=" xảy ra khi x₁ = x₂ = x_n

=================

Cái mincopxki t ko biết , ngoài ra còng có BĐT Cauchy - dạng engel => lên googl seach có

Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Bất đẳng thức AM-GM là một bất đẳng thức cơ bản kinh điển quan trọng nhất của toán học sơ cấp, vì nó đã có khá nhiều cách chứng minh được đưa ra, hàng chục mở rộng, hàng chục kết quả chặt hơn đăng trên các diễn đàn toán học. Phần này tôi xin giới thiệu một kết quả chặt hơn bất đẳng thức AM-GM khác được suy ra từ chính cách chứng minh mới bất đẳng thức AM-GM (Cauchy - Cô-si).

                                                                                                                                                          # Aeri # 

Thanks bạn

mình copy trên google nè:Bất đẳng thức này ở VN gọi là bđt Cô-si (Cauchy) còn ở Mỹ gọi như trong tựa bài, hay gọi tắt là AM-GM inequality (arithmetic mean - geometric mean)

phải

Hỏi làm gì lớp 9 học

Không bn ơi

Đặt \(P=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

\(=x+y+\frac{1}{4x}+\frac{3}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{3}{4y}\)

\(=\left(x+\frac{1}{4x}\right)+\left(y+\frac{1}{4y}\right)+\left(\frac{3}{4x}+\frac{3}{4y}\right)\)

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số thực dương x,y ta được:
\(x+\frac{1}{4x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}=1\left(1\right)\)

\(y+\frac{1}{4y}\ge2\sqrt{y.\frac{1}{4y}}=1\left(2\right)\)

\(\frac{3}{4x}+\frac{3}{4y}\ge2\sqrt{\frac{3}{4x}.\frac{3}{4y}}=\frac{3}{2\sqrt{xy}}\left(3\right)\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\left(4\right)\)

Thay (4) vào (3) ta có \(\frac{3}{4x}+\frac{3}{4y}\ge3\left(5\right)\)

(1)+(2)+(5) ta được: \(P\ge3\)

Dấu"="Xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại.

Trong chương trình lớp 7 thì có bất đẳng thức là:

Trong tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại

Các bất đẳng thức nổi tiếng

Tôi đã học :

-bất đảng thức cô-si

-bất đảng thức bunyakovsky

về phần ví dụ thì tui chịu nha

Quên hết rùi