A= 2015+2015²+2015³+....+2015²⁰¹³+2015²⁰¹⁴+2015²⁰¹⁵ 

^A= ( 2015+2015² )+ ( 2015³+2015⁴ )+..... + (2015²⁰¹²+2015²⁰¹³) + (2015²⁰¹⁴+2015²⁰¹⁵)

A= 2015. (1+2015)+ 2015³ .(1+2015) +.....+ 2015²⁰¹². (1+2015)+ 2015²⁰¹⁴. (1+2015)

A= 2015.2016 + 2015³.2016 +......+ 2015²⁰¹².2016 + 2015²⁰¹⁴.2016

A= 2016. ( 2015+ 2015^{3 +}.......+2015²⁰¹² + 2015²⁰¹⁴)

=> A chia hết cho 2016

=> đpcm : điều phải chứng minh

BẠN ƠI SAI RÙI! CÓ 2015 SỐ HẠNG THÌ PHẢI LẺ 1 SỐ CHỨ

A=2015​​+(2015^2+2015^3)+(2015^4+2015^5)....(2015^2014+2015^2015)

\(ĐặtA=\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{2014}{2^{2013}}+\frac{2015}{2^{2014}}\)

\(2A=\frac{3}{2}+\frac{4}{2^2}+...+\frac{2014}{2^{2012}}+\frac{2015}{2^{2013}}\)

\(2A-A=\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{2^2}+...+\frac{2014}{2^{2012}}+\frac{2015}{2^{2013}}\right)-\left(\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{2014}{2^{2013}}+\frac{2015}{2^{2014}}\right)\)

\(A=\frac{3}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2012}}+\frac{1}{2^{2013}}-\frac{2015}{2^{2014}}\)

\(2A=3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2011}}+\frac{1}{2^{2012}}-\frac{2015}{2^{2013}}\)

\(2A-A=\left(3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2011}}+\frac{1}{2^{2012}}-\frac{2015}{2^{2013}}\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2012}}+\frac{1}{2^{2013}}-\frac{2015}{2^{2014}}\right)\)

\(A=3+\frac{1}{2}-\frac{2015}{2^{2013}}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2^{2013}}+\frac{2015}{2^{2014}}\)

\(A=2-\frac{2015}{2^{2013}}-\frac{1}{2^{2013}}+\frac{2015}{2^{2014}}\)

\(A=2-\frac{4030}{2^{2014}}-\frac{2}{2^{2014}}+\frac{2015}{2^{2014}}\)

\(A=2-\frac{4032}{2^{2014}}+\frac{2015}{2^{2014}}\)

\(A=2-\frac{2017}{2^{2014}}< 2\)

=> đpcm

Bài này dễ thôi mà nhưng mình chỉ gợi ý thôi nhé! Bạn phải đổi phần mẫu số ra đã nhé ! *CỐ LÊN*

Ta có : \(2013^{2015}+1^{2015}⋮\left(2013+1\right)=2014\)

\(2015^{2013}-1^{2013}⋮\left(2015-1\right)=2014\)

Do đó : \(\left(2013^{2015}+1^{2015}\right)+\left(2015^{2013}-1^{2013}\right)⋮2014\)

\(\Rightarrow2013^{2015}+1+2015^{2013}-1⋮2014\)

\(\Rightarrow2013^{2015}+2015^{2013}+\left(1-1\right)⋮2014\)

\(\Rightarrow2013^{2015}+2015^{2013}⋮2014\)

Vậy bài toán đã được chứng minh

cảm ơn bạn và mik cx k cho bạn r

k là t i c k

Ta có 9911 = 11 . 17 . 53 . Trong mỗi tích đều có các thừa số đó :

- Tích các số lẻ có chứa các số 11 ; 17 ; 53

- Tích các số chẵn có các số 22 ; 34 ; 106 lần lượt là bội của các số 11 ; 17 ; 53

=> Tổng hai tích chia hết cho 9911.

A = 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹² + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶

   = (2²⁰¹¹ + 2²⁰¹²) + (2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴) + (2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶)

   = 2²⁰¹¹(2 + 1) + 2²⁰¹³(2 + 1) + 2²⁰¹⁵(2 + 1)

   = 3.2²⁰¹¹ + 3.2²⁰¹¹.2² + 3.2²⁰¹¹.2⁴

   = 3.2²⁰¹¹.(1 + 2² + 2⁴)

   =  3.2²⁰¹¹.21 \(⋮\)21

=> A \(⋮\) 21

Ta có : A = 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹² + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶

   = (2²⁰¹¹ + 2²⁰¹²) + (2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴) + (2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶)

   = 2²⁰¹¹(2 + 1) + 2²⁰¹³(2 + 1) + 2²⁰¹⁵(2 + 1)

   = 3.2²⁰¹¹ + 3.2²⁰¹¹.2² + 3.2²⁰¹¹.2⁴

   = 3.2²⁰¹¹.(1 + 2² + 2⁴)

   =  3.2²⁰¹¹.21 \(⋮\)21

=> A \(⋮\) 21 (đpcm)