Lời giải:

Vì \(a+b+c=4; b,c>0\Rightarrow a=4-b-c< 4\)

\(\Rightarrow a^4< 4a^3\)

\(\Rightarrow \frac{a^4}{4}< a^3\Rightarrow \frac{a}{\sqrt[4]{4}}< \sqrt[4]{a^3}\). Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{b}{\sqrt[4]{4}}< \sqrt[4]{b^3}; \frac{c}{\sqrt[4]{4}}< \sqrt[4]{c^3}\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}> \frac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)

Ta có đpcm.

\(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{4+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{4+\left(a+c\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{4+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{16+\left(a+b+2c\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{36+\left(2a+2b+2c\right)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\)

Bạn xem lại đề bài nhé :)

Nhận xét : Với \(x\ge0\), ta có \(x=\sqrt{x^2}\)

Đặt \(x=\sqrt{A-\sqrt{B}}+\sqrt{A+\sqrt{B}}\), ta có \(x\ge0\), từ nhận xét suy ra \(x=\sqrt{x^2}\)

Ta có : \(x^2=2A+2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\)(1). Tương tự, đặt \(y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}\).

Xét : \(A+\sqrt{B}-\left(A-\sqrt{B}\right)=2\sqrt{B}>0\Leftrightarrow A+\sqrt{B}>A-\sqrt{B}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}>\sqrt{A-\sqrt{B}}\Rightarrow y>0\). Áp dụng nhận xét, ta cũng có \(y=\sqrt{y^2}\)

Ta có : \(y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}\Leftrightarrow y=2A-2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow y=2\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\) (2)

Cộng (1) và (2) theo vế : \(x+y=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)\)

\(2\sqrt{A+\sqrt{B}}=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\)(đpcm)

ta thấy A + phân A thì sẽ tự làm

Mình nghĩ bạn chép sai đề rồi, mình sửa lại nhé \(\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}=\sqrt{A+\sqrt{B}}\)

Bình phương vế trái ta có: \(\left(\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\right)^2\)

\(=\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}+\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}+2\sqrt{\frac{\left(A+\sqrt{A^2-B}\right)\left(A-\sqrt{A^2-B}\right)}{4}}\)

\(=\frac{2A+\sqrt{A^2-B}-\sqrt{A^2-B}}{2}+2\sqrt{\frac{A^2-\left(A^2-B\right)}{4}}\)

\(=A+2\sqrt{\frac{B}{4}}=A+\sqrt{4.\frac{B}{4}}=A+\sqrt{B}.\)

Do \(A>0,B>0\)nên ta suy ra \(\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}=\sqrt{A+\sqrt{B}}\)(đpcm).

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?

Theo giả thiết, ta có: \(ab+bc+ca+abc=4\)

\(\Leftrightarrow abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)\(=12+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)\(=\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)

\(\Rightarrow a+b+c+6=12\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)-6+a+b+c\)

\(=\left(\frac{12}{a+2}+a-2\right)+\left(\frac{12}{b+2}+b-2\right)+\left(\frac{12}{c+2}+c-2\right)\)

Mặt khác: \(\frac{12}{a+2}+a-2=\frac{12+a^2-4}{a+2}=\frac{a^2+8}{a+2}\)

Tương tự: \(\frac{12}{b+2}+b-2=\frac{b^2+8}{b+2}\); \(\frac{12}{c+2}+c-2=\frac{c^2+8}{c+2}\)

Từ đó suy ra \(a+b+c+6=\frac{a^2+8}{a+2}+\frac{b^2+8}{b+2}+\frac{c^2+8}{c+2}\)

\(\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8}\right)^2}{a+b+c+6}\)(Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)

\(\Rightarrow\left(a+b+c+6\right)^2\ge\left(\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8}\right)^2\)

hay \(\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8}\le a+b+c+6\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1