a/

+ Nếu n chẵn (n+10) chẵn => n+10 chia hết cho 2 => (n+10)(n+15) chia hết cho 2

+ Nếu n lẻ thì (n+15) chẵn => n+15 chia hết cho 2 => (n+10)(n+15) chia hết cho 2

b/ 

n(n+1)(2n+1) chi hết cho 6 khi đồng thời chia hết cho 2 và cho 3

+ Nếu n chẵn => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2

+ Nếu n lẻ => n+1 chẵn => n+1 chia hết cho 2 => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2 với mọi n

+ Nếu n chia hết cho 3 => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3 => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 1 => n+2 chia hết cho 3 => 2(n+2)=2n+4=2n+1+3 chia hết cho 3 mà 3 chia hết cho 3 => 2n+1 chia hết cho 3 => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 với mọi n

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6 vơi mọi n

c/

n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 6 khi đồng thời chia hết cho 2 và cho 3

+ Nếu n chẵn => n chia hết cho 2 => n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 2

+ Nếu n lẻ => 7n lẻ => 7n+1 chẵn => 7n+1 chia hết cho 2 => n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 2

=> n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 2 với mọi n

+ Nếu n chia hết cho 3 => n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3 => 10(n+1)=10n+10=(7n+1)+(3n+9)=(7n+1)+3(n+3) chia hết cho 3

Mà 3(n+3) chia hết cho 3 => 7n+1 chia hết cho 3 => n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 1 chứng minh tương tự câu (b) => 2n+1 chia hết cho 3 => n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 3

=> n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 3 với mọi n

=> n(2n1)(7n+1) chia hết cho 6 với mọi n

a) Vì tích là 1 số \(⋮\)2, nên tận cùng sẽ là 1 trong các c/s: 0,2,4,6,8.

b) Vì tích là 1 số \(⋮\)2 và 3 nên tận cùng sẽ là 1 trong các c/s chẵn và có tổng các c/s chia hết cho 3 .

Vì n là số tự nhiên 

Nên n có thể là số chẵn hoặc số lẻ 

Nếu n chẵn thì n = 2k 

Khi đó (2k + 10) (2k + 15) = 2(k + 5) (2x + 15) chia hết cho 2

Nếu n là lẻ thì n = 2k + 1

Khi đó : (2k + 1 + 10) (2k + 1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = (2k + 11).2(k + 8) chia hết cho 2  

a) - Với n lẻ ( \(n\in N\)) thì n + 15 chẵn => ( n + 10 ) . ( n + 15 ) chẵn => ( n + 10 ) . ( n +15 ) chia hết cho 2 .

     - Với n chẵn ( \(n\in N\))  thì n + 10 chẵn => ( n+ 10 ) . ( n + 15 )  chẵn => ( n + 10 ) . ( n + 15 ) chia hết cho 2 .

  Vậy ( n + 10 ) . ( n + 15 ) chia hết cho 2 với n thuộc N . ( đpcm)

a; (n + 10)(n + 15)

+ Nếu n là số chẵn ta có: n + 10 ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2

+ Nếu n là số lẻ ta có: n + 15 là số chẵn 

⇒ (n + 15) ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 

Từ những lập luận trên ta có:

A = (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

trả lời giùm tớ ,tớ đang làm bài này

Cậu làm xong chưa? Trả lời hộ tớ

a) ta có: n + 15 chia hết cho n + 1

=> n+1+14 chia chia hết cho n + 1

...

b) ta có: 2n+10 chia hết cho n + 2

2n+4+6 chia hết cho n + 2

2.(n+2) + 6 chia hết cho n + 2

...

c) ta có: 3n + 14 chia hết cho n - 1

3n - 3 + 17 chia hết cho n - 1

=> 3.(n-1) + 17 chia hết cho n - 1

...

Ta có: n + 15 = (n+1) + 14

Vì \(n+1⋮n+1\)nên để \(\left(n+1\right)+14⋮n+1\) thì \(14⋮\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\inƯ\left(14\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\in\left\{1;2;7;14\right\}\)

Tương ứng \(n\in\left(0;1;6;13\right)\)(t/m)

  Vậy \(n\in\left(0;1;6;13\right)\)

b) Ta có: 2n + 10 = 2n + 4 + 6 = 2(n+2) + 6 

Vì \(2\left(n+2\right)⋮n+2\)nên để \(\text{ 2(n+2) + 6 }⋮n+2\)thì \(\text{ 6 }⋮n+2\)

\(\Rightarrow\left(n+2\right)\inƯ\left(6\right)\)

Làm tiếp như ý a)

c) Ta có: 3n + 14 = 3n - 3 + 17 = 3(n-1) + 17

Vì \(3\left(n-1\right)⋮n-1\)nên để \(3\left(n-1\right)+17⋮n-1\)thì \(17⋮n-1\)

=> n-1 là ước nguyên của 17

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\in\left\{1;-1;17;-17\right\}\)

   mà \(n\inℕ\)

nên tương ứng \(n\in\left\{2;0;18\right\}\)(t/m)

Vậy \(n\in\left\{2;0;18\right\}\)

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\text{a) }n;\text{ }n+1;\text{ }n+2\text{ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.}\)

\(\Rightarrow A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\text{ chia hết cho 3}\)

\(\text{b) Để A chia hết cho 15 thì A cần chia hết cho 5 (vì A luôn chia hết cho 3)}\)

\(\Rightarrow\text{1 trong 3 số }n;n+1;n+2\text{ phải chia hết cho 5.}\)

\(\Rightarrow n;n+1;n+2=5\text{ hoặc 10}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{3;4;5;8;9\right\}\)

a, \(n^2+n=n\left(n+1\right)\)

Vì n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)⋮2\)

Vậy ...

b, \(a^2b+b^2a=ab\left(a+b\right)\)

Nếu a chẵn, b lẻ thì \(ab\left(a+b\right)⋮2\)

Nếu a lẻ, b chẵn thì \(ab\left(a+b\right)⋮2\)

Nếu a,b cùng chẵn thì \(ab⋮2\Rightarrow ab\left(a+b\right)⋮2\)

Nếu a,b cùng lẻ thì \(a+b⋮2\Rightarrow ab\left(a+b\right)⋮2\)

c, \(51^n+47^{102}=\overline{...1}+47^{100}.47^2=\overline{...1}+\left(47^4\right)^{25}.47^2=\overline{...1}+\overline{...1}^{25}\cdot.\overline{...9}=\overline{...1}+\overline{...9}=\overline{...0}⋮10\)