+)Đặt A = n⁴+8n³+17n²+4n+6
    =>  A= (n²+4n)²+(n+2)²+2>0
    =>  A> (n²+4n)² 
+)Xét với n = 0 => A= 6 (không thỏa mãn)
Xét hiệu B=(n²+4n+1)²-A
                =n⁴+16n²+1+8n³+2n²+8n-n⁴-8n³-17n²-4n-6
                =n²+4n-5
                =(n+2)²-9
TH1:B≤0 <=> -5≤n≤1 hay n∈{-5,-4,-3,-2,-1,1} vì n khác 0(cmt)
ta có A=(n²+4n)²+(n+2)²+2= n²(n+4)²+(n+2)²+2
Vì A là số chính phương nên A≡ 0,1(mod4)và A≡0,1,4(mod 5)
Ta xét với n≡0 (mod 4)=> A≡0+4+2≡2 (mod4) => loại
                 n≡ 1 (mod 4)=> A≡ 25+ 9+2≡0 (mod4) => chọn
 cmtt với n≡3(mod 4)=>A≡0(mod 4)=> chọn
               n≡ 2(mod 4) => A≡2(mod4) => loại
Ta xét tiếp với mod 5 với n≡ 0,1,2,3,4 thì chỉ có n≡ 0,1 thỏa mãn
=> n ∈{-5,1}
Từ đây ta thay với n= -5 hay 1 thì (n+2)²-9=0
=>B=0 và A=(n²+4n+1)²
=> n∈{1,-5}
TH2: B>0=> (n²+4n)<A<(n²+4n+1)²
              => không tồn tại số chính phương A
Vậy để n⁴ + 8n³ + 17n² + 4n + 6 là số chính phương thì n∈{1,-5}

Lỡ có sai sót thì thông cảm giúp mình nha:3

câu hỏi tương tự nha bạn

bai toan nay kho @gmail.com

thì sao bạn

a ) Đặt \(n^2+2006=a^2\left(a\in Z\right)\)

\(\Rightarrow2006=a^2-n^2=\left(a-n\right).\left(a+n\right)\)( 1 )

Mà ( a + n ) - ( a - n ) = 2n chia hết cho 2

=> a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ

TH1 : a + n và a - n cùng lẻ => ( a - n ) . ( a + n ) là số lẻ => trái với ( 1 )

TH2 : a + n và a -n cùng chẵn => ( a - n ) . ( a + n ) chia hết cho 4 => trái với 1 

Vậy ko có n thỏa man để \(n^2+2006\)là số chính phương

b ) Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n không chia hết cho 3

=> n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( \(k\ne0\))

TH1 : n = 3k + 1 thì \(n^2+2006\)= \(\left(3k+1\right)^2\)+ 2006 \(=(9k^2+6k+2007)⋮3\)và lớn hơn 3

=> \(n^2+2006\)là hợp số

TH2 : n = 3k + 2 thì \(n^2+2006=\left(3k+2\right)^2=(9k^2+12k+2010)⋮3\)và lớn hơn 3

=> \(n^2+2006\)là hợp số

Vậy \(n^2+2006\)là hợp số

\(2,\\ n=0\Leftrightarrow A=1\left(loại\right)\\ n=1\Leftrightarrow A=3\left(nhận\right)\\ n>1\Leftrightarrow A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\\ \Leftrightarrow A=n^2\left[\left(n^3\right)^{670}-1\right]+n\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

Ta có \(\left(n^3\right)^{670}-1⋮\left(n^3-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮\left(n^2+n+1\right)\)

Tương tự \(\left(n^3\right)^{667}⋮\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow A⋮\left(n^2+n+1\right);A>1\)

Vậy A là hợp số với \(n>1\)

Vậy \(n=1\)

\(3,\)

Đặt \(A=n^4+n^3+1\)

\(n=1\Leftrightarrow A=3\left(loại\right)\\ n\ge2\Leftrightarrow\left(2n^2+n-1\right)^2\le4A\le\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4A=\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4n^2+4n^3+4=4n^2+4n^3+n^2\\ \Leftrightarrow n^2=4\Leftrightarrow n=2\)

Vậy \(n=2\)

1.Ta có

   n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n²

             = (n² + 2 )² – (2n)²

            = (n² + 2 – 2n )(n² + 2 + 2n)

Vì n⁴ + 4 là số nguyên tố nên  n² + 2 – 2n = 1 hoặc  n² + 2 + 2n = 1

Mà   n² + 2 + 2n > 1 vậy  n² + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1

Thử lại : n = 1 thì 1⁴ + 4 = 5 là số nguyên tố

Vậy với n = 1 thì  n⁴ + 4  là số nguyên tố./

2.Ta có :

n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1 = n²(n²⁰⁰¹ – 1) + n(n²⁰⁰¹ – 1) + n² + n + 1

Với n > 1 ta có :

Do đó  

 Mà n² + n + 1 > 1 nên  n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1  là hợp số

Với n = 1 ta có

       n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1 = 1²⁰⁰³ + 1²⁰⁰² + 1 = 3 là số nguyên tố .

n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n=3k+1 hoặc n=3k+2  (k la so tu nhien)

Nếu n=3k+1 => n^2+2006=(3k+1)^2+2006=9k^2+6k+1+2006=9k^2+6k+2007 =3(3k^2+2k+669) chia hết cho 3 và >3 nên là hop so

Nếu n=3k+2 =>n^2+2006=(3k+2)^2+2006=9k^2+12k+2010  chia hết cho 3 và > 3 nen là hop so

bài 2

n^2+2006=a^2  => 2006=a^2-n^2=(a-n)(a+n)

ta co n-a-(n+a)=-2a là số chẵn nên a-n và a+n cùng tính chẵn lẻ

ta thấy 2006 là số chẵn nên a-n và a+n cùng chẵn nên (a+n)(a+n) chia hết cho 4 mà 2006 ko chia hé t cho 4 nên ko có x