1:

a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

căn x+1>=1

=>2/căn x+1<=2

=>-2/căn x+1>=-2

=>A>=-2+1=-1

Dấu = xảy ra khi x=0

b: 

Bài làm:

Ta có: \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

Mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\)

Thay vào ta tính được:

\(M\ge2\sqrt{x^2y^2\cdot\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256\cdot\frac{1}{16}}+2\)

\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2=\frac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_M=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Đánh máy xong hết lại bấm hủy-.-

a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

Mình ko chắc lắm :

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=\frac{x^2y^2+1}{y^2}.\frac{x^2y^2+1}{x^2}=\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}\)

\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256.\left(xy\right)^2}+2\)

\(\ge2.\frac{1}{16}+\frac{255}{256.\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right)^2}+2\)

\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{256.\left(\frac{1}{4}\right)^2}+2=\frac{289}{16}\)

Khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(Q=\left[\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)-x^4y^4\right]+\left[\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-2x^2y^2\right]-1\)

 \(\ge\left(\frac{1}{2}2\sqrt{\frac{x^{10}}{y^2}\cdot\frac{y^{10}}{x^2}}-x^4y^4\right)+\left[\frac{2x^8y^8}{4}-2x^2y^2\right]-1\)

\(\ge\frac{x^8y^8}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2x^2y^2-\frac{3}{2}-1\ge4\sqrt[4]{\frac{x^8y^8}{2.2.2.2}}-\frac{3}{2}-1=2x^2y^2-2x^2y^2-\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}\)

Vậy min Q = -5/2 tại x = y = +-1 

Còn cách đặt ẩn phụ thế này: 

\(Q=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\ge\frac{1}{2}.2\sqrt{\frac{x^{10}}{y^2}.\frac{y^{10}}{x^2}}+\frac{1}{4}.2\sqrt{x^{16}.y^{16}}-\left(x^4y^4+2x^2y^2+1\right)\)\(=\frac{x^8y^8}{2}-4x^2y^2-2\)

Đặt x²y² = t >= 0. Khi đó:

\(2Q=t^4-4t-2=\left(t^4-2t^2+1\right)+2\left(t^2-2t+1\right)+5=\left(t^2-1\right)^2+2\left(t-1\right)^2+5\ge5\Rightarrow Q\ge\frac{5}{2}\)Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y =+-1