a: Theo đề, ta có: 

\(\dfrac{2a}{3}=\dfrac{b-1}{4}=\dfrac{c-2}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{b-1}{4}=\dfrac{c-2}{5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{b-1}{4}=\dfrac{c-2}{5}=\dfrac{a-2b+c+2-2}{\dfrac{3}{2}-2\cdot4+5}=\dfrac{1}{-\dfrac{3}{2}}=-\dfrac{2}{3}\)

Do đó: a=-1; b-1=-8/3; c-2=-10/3

=>a=-1; b=-5/3; c=-4/3

b: Theo đề, ta có:

\(\dfrac{2a}{20}=\dfrac{b-1}{15}=\dfrac{c-2}{12}\)

hay \(\dfrac{a}{10}=\dfrac{b-1}{15}=\dfrac{c-2}{12}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{10}=\dfrac{b-1}{15}=\dfrac{c-2}{12}=\dfrac{a-2b+c+2-2}{10-2\cdot15+12}=\dfrac{1}{-8}=\dfrac{-1}{8}\)

Do đó: a=-5/4; b-1=-15/8; c-2=-3/2

=>a=-5/4; b=-7/8; c=1/2

a²S₁ = a² + a⁴ + a⁶ +...+a²ⁿ⁺²

=> a²S₁ - S₁ = (a² + a⁴ + a⁶ +...+a²ⁿ⁺²)-(1+a² + a⁴ + a⁶ +...+a²ⁿ)

S₁(a²-1) = a²ⁿ⁺²-1

=> S₁ = (a²ⁿ⁺²-1):(a²-1)

 Câu 2 cũng nhân với a² là được

=>1^2 .(-3)^2+2.1-5

=1 .6+3-5

=6+3-5

=4

[ 1². (-3)² ] + (1.2-5)=(1.9) + (-3)=6

a , Thiếu đề bài:

b, Với A bằng 5 thì : (x+1/2):1/4 = 5

x+1/2 = 5x1/4

x + 1/2 = 5/4

x=5/4 - 1/2

x=3/4

\(a)\) Công thức tính số hạng của một dãy số là : (Số cuối-số đầu ) chia khoảng cách rồi cộng thêm 1 .

Do đó : Số hạng của dãy số A là : \(\dfrac{\left(2n+1\right)-1}{2}+1=n+1\)

            Số hạng của dãy số B là : \(\dfrac{2n-2}{2}+1=n-1+1=n\)

\(b)\) Ta có : Số hạng của dãy số A là : \(n+1\)

   Do đó : tổng của A là : \(\dfrac{\left(2n+1+1\right).\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{2\left(n+1\right)\left(n+1\right)}{2}\)

\(=\left(n+1\right)^2\) 

Vì n thuộc N nên tổng của A là : một số chính phương . 

\(c)\) Ta có : Số hạng của dãy số B là : n

     Do đó : Tổng của dãy số B là : \(\dfrac{n.\left(2n+2\right)}{2}=\dfrac{2.n.\left(n+1\right)}{2}\)

\(=n.\left(n+1\right)\) 

Ta thấy : n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên để B là số chính phương thì khi và chỉ khi n hoặc n+1 bằng 0 . 

Ta thấy chúng đều không thoả mãn .

vậy.............

Bạn xem lại câu A+B mới là số chính phương k?

 Câu a) mình không hiểu đề bài cho lắm nên mình làm câu b) với c) nhé:

 Ta sẽ chứng minh \(A=1+3+5+...+\left(2n-1\right)=n^2\) bằng quy nạp. Với \(n=1\) thì \(1=1^2\), luôn đúng. Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k\). Với \(n=k+1\) thì ta có:

 \(A=1+3+5+...+\left(2k+1\right)\)

 \(A=1+3+5+...+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)\)

 \(A=k^2+2k+1\)

 \(A=\left(k+1\right)^2\) là SCP.

Vậy khẳng định được chứng minh. \(\Rightarrow\) A là SCP với mọi n (đpcm).

c) Ta có \(B=2+4+6+...+2n\)

\(B=2\left(1+2+3+...+n\right)\)

 Ta sẽ chứng minh \(1+2+3+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\) nhưng không phải bằng quy nạp vì mình nghĩ bạn nên biết nhiều cách khác nhau để chứng minh một đẳng thức. Mình sẽ dùng phương pháp đếm bằng 2 cách để chứng minh điều này.

 Ta xét 1 nhóm gồm \(n+1\) người, mỗi người đều bắt tay đúng 1 lần với 1 người khác. Khi đó ta sẽ tính số cái bắt tay đã xảy ra bằng 2 cách:

  Cách 1: Ta chọn ra 1 người, gọi là người số 1, bắt tay với \(n\) người khác. Sau đó ta chọn ra người số 2, bắt tay với \(n-1\) người khác (không tính người số 1). Chọn ra người số 3, bắt tay với \(n-2\) người (không tính người số 1 và 2). Cứ tiếp tục như thế, cho đến người thứ \(n-1\) thì sẽ có 1 cái bắt tay với người thứ \(n\). Do đó số cái bắt tay đã xảy ra là \(1+2+...+n\)

 Cách 2: Số cái bắt tay chính là số cách chọn 2 người (không kể thứ tự) trong n người đó. Số cách chọn ra người thứ nhất là \(n+1\), chọn ra người thứ hai là \(n\). Do đó số cách chọn 2 người có kể thứ tự sẽ là \(n\left(n+1\right)\). Nhưng do ta không tính thứ tự nên số cái bắt tay đã xảy ra là \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\). 

 Do vậy, ta có \(1+2+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

 Như thế, \(B=2\left(1+2+...+n\right)=2.\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=n\left(n+1\right)\) không thể là số chính phương, bởi vì: \(n^2=n.n< n\left(n+1\right)< \left(n+1\right)\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{12}\)

\(\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{b}{12}=\frac{c}{15}\) 

\(\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{15}\) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta đươc:

\(\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{15}=\frac{a+b-2c}{8+12-30}=\frac{10}{-10}=-1\) 

\(\Rightarrow a=-1.8=-8\) 

\(b=-1.12=-12\) 

\(c=-1.15=-15\)

Tks bn nha! Mk tinh nham.