hello

\(A=n^4+2n^3+2n^2+n+7\)

\(\Rightarrow A=n^4+2n^3+n^2+n^2+n+7\)

\(\Rightarrow A=\left(n^2+n\right)^2+n^2+n+\dfrac{1}{4}+\dfrac{27}{4}\)

\(\Rightarrow A=\left(n^2+n\right)^2+\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\)

\(\Rightarrow A>\left(n^2+n\right)^2\left(1\right)\)

Ta lại có :

\(\left(n^2+n+1\right)^2-A\)

\(=n^4+n^2+1+2n^3+2n^2+2n-n^4-2n^3-2n^2-n-7\)

\(=n^2+n-6\)

Để \(n^2+n-6>0\)

\(\Leftrightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n< -3\\n>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)^2>A\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left(n^2+n\right)^2< A< \left(n^2+n+1\right)^2\)

Nên A không phải là số chính phương

Xét \(-3\le n\le2\)

Để A là số chính phương

\(\Rightarrow n\in\left\{-3;-2;-1;0;1;2\right\}\)

Thay các giá trị n vào A ta thấy với \(n=-3;n=2\) ta đều được \(A=49\) là số chính phương

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-3\\n=2\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài

Đặt \(2^4+2^7+2^n=a^2\left(a\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2^4+2^7\right)+2^n=a^2\)

\(\Leftrightarrow2^4.\left(1+2^3\right)+2^n=a^2\)

\(\Leftrightarrow2^4.3^2+2^n=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2^2.3\right)^2+2^n=a^2\)

\(\Leftrightarrow12^2+2^n=a^2\)

\(\Leftrightarrow2^n=a^2-12^2\)

\(\Leftrightarrow2^n=\left(a-12\right).\left(a+12\right)\)

Đặt \(a-12=2^q\) ( * ) ; \(a+12=2^p\) ( ** ) 

Giả sử p > q ; p , q \(\in\) N 

Lấy ( ** ) - ( * ) vế với vế ta được : \(24=2^p-2^q\)

                                                \(2^3.3=2^q.\left(2^{p-q}-1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2^3=2^q\\3=2^{p-q}-1\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=3\\2^2=2^{p-q}\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=3\\p-q=2\end{cases}}\)  \(\hept{\begin{cases}q=3\\p=5\end{cases}}\) 

\(\Rightarrow n=p+q=3+5=8\)

Vậy \(n=8\) 

10 \(\le\)n \(\le\)99 => 21 < 2n + 1 < 199 và 31 < 3n + 1 < 298

Vì 2n + 1 là số lẻ mà 2n + 1 là số chính phương

=> 2n + 1 thuộc { 25 ; 49  ; 81 ; 121 ;  169 } tương ứng số n thuộc { 12; 24; 40; 60; 84 } ( 1 )

Vì 3n + 1 là số chính phương và 31 < 3n + 1 < 298

=> 3n + 1 thuộc { 49 ; 64 ; 100 ; 121 ; 169 ; 196 ; 256 ; 289 } tương ứng n thuộc { 16 ; 21 ; 33 ; 40 ; 56 ; 65 ; 85 ; 96 } ( 2 )

Từ 1 và 2 => n = 40 thì 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương

bài cô giao đi hỏi 

chịu thôi

...............................

n thuoc N nha ban