Bài giải 

Ta có : ( x- 3 ) ² \(\ge\)0 <=> x² - 6.x + 9 \(\ge\) 0 <=> x. ( x - 1 ) \(\ge\)5.x-9 .Tương tự : y. ( y - 1 )\(\ge\) 5.y - 9 . 

Từ đó : x . ( x - 1 ) + y . ( y - 1 ) \(\ge\) 5. ( x + y ) -18 \(\ge\) 5. 6 - 18 = 12 . Khi x = y = 3 thì đẳng thức xảy ra  => đpcm 

Em học lớp 8 nên không chắc lắm, vì đội tuyển có dạng này rồi nên em giúp chị nhé :

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số a,b dương ta có :

\(\left(a+b\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\) (1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (2)

Nhân vế với vế của BĐT (1) và (2) ta được :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\cdot2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}>0\) và \(a+b\ge2\sqrt{ab}>0\)

nên \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}.2\sqrt{ab}=4\)

Dấu đảng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Cách khác: Ta có thể viết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương liên tiếp:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)

ở đâu zậy

\(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|+\left|x-5\right|+\left|x-7\right|=\left(\left|x-1\right|+\left|x-7\right|\right)+\left(\left|x-3\right|+\left|x-5\right|\right)\\ \)

\(=\left(\left|x-1\right|+\left|7-x\right|\right)+\left(\left|x-3\right|+\left|5-x\right|\right)\)

\(\ge\left|x-1+7-x\right|+\left|x-3+5-x\right|=\left|6\right|+\left|2\right|=8\)

\(\left|x+1\right|+\left|x+3\right|+\left|x+5\right|=\left(\left|x+1\right|+\left|x+3\right|\right)+\left|x+5\right|=\left(\left|x+1\right|+\left|3-x\right|\right)+\left|x+5\right|\)

\(\ge\left|x+1+3-x\right|+\left|x+5\right|=\left|4\right|+\left|x+5\right|=4+\left|x+5\right|\ge4\)

\(\left|x-1\right|+2\left|x-3\right|+\left|x-5\right|=\left(\left|x-1\right|+\left|x-5\right|\right)+2\left|x-3\right|=\left(\left|x-1\right|+\left|5-x\right|\right)+2\left|x-3\right|\)

\(\ge\left|x-1+5-x\right|+2\left|x-3\right|=\left|4\right|+2\left|x-3\right|=4+2\left|x-3\right|\ge4\)

Giải xàm tí ạ!\(VT-VP=\frac{1}{2}\left[\left(x^2-3x+1\right)^2+\left(y^2-3y+1\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(5-x-y\right)\left(x+y-1\right)\right]\ge0\)

=> qed

??? KHang ơi! Sai rồi ? Tại sao VT - Vp = 1/2. Dòng thứ 2 ??? 

Nguyễn Linh Chi còn khúc dưới nữa mà cô, tại nó dài quá nên olm ko hiển thị hết trng một dòng. Mà bài đó em cũng làm xàm:)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Cái này chuẩn CBS dạng đặc biệt với hai tử số bằng 1

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Cauchy đi mài ._.

Vì a, b > 0 nên áp dụng bđt Cauchy cho :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\cdot\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân hai vế tương ứng ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b 

Bác ơi, sao chỗ cuối đấy ra được là : Dấu bằng xảy ra <=> a=b vậy bác?

Nguyên trang bất đăng thức Bunhacoxki  rồi.