Với m = 2, (d) có phương trình y = 2. Khoảng cách từ gốc O tới d là 2.

Với \(m\ne2\):

Từ O, kẻ OH vuông góc với đường thẳng (d) : y = (m - 2)x + 2 (H thuộc d)

Gọi A, B là giao điểm của d với Oy và Ox. Ta tìm tọa độ của A và B.

Với x = 0 \(\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left(0;2\right)\Rightarrow OA=2.\)

Với \(y=0\Rightarrow x=\frac{2}{2-m}\Rightarrow B\left(\frac{2}{2-m};0\right)\Rightarrow OB=\left|\frac{2}{2-m}\right|\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{0A^2}+\frac{1}{OB^2}\Rightarrow\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{4}+\frac{\left(2-m\right)^2}{4}=\frac{1+\left(2-m\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow OH=\frac{2}{\sqrt{1+\left(2-m\right)^2}}\)

Do \(m\ne2\)  nên \(\sqrt{1+\left(2-m\right)^2}>1\Rightarrow OH< 2.\) 

Vậy kết hợp cả hai trường hợp ta có max OH = 2 khi m = 2.

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ tới (d) là 2, khi m = 2.

Viết lại: 

\(yx^2+2x\left(y-2\right)+y=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta'\ge0\)

\(\Rightarrow\left(y-2\right)^2-y^2\ge0\Leftrightarrow-4y+4\ge0\Leftrightarrow y\le1\)

Vậy giá trị lớn nhất của y là 1

\(pt\Leftrightarrow x^2y+2\left(y-2\right)x+y=0\)(*)

Nếu y=0 từ (*) => \(-4x=0\Rightarrow x=0\)

Nếu y\(\ne\)0 thì từ (*) có nghiệm theo x khi

\(\Delta'=\left(y-2\right)^2-y^2\ge0\Leftrightarrow4-4y\ge0\Leftrightarrow y\le1\)

Vậy y đạt GTLN=1 khi (*) có nghiệm kép

\(x_1=x_2=\frac{2-y}{y}=\frac{2-1}{1}=1\)

pt⇔x2y+2(y−2)x+y=0(*)

Nếu y=0 từ (*) => −4x=0⇒x=0

Nếu y≠0 thì từ (*) có nghiệm theo x khi

Δ'=(y−2)2−y2≥0⇔4−4y≥0⇔y≤1

Vậy y đạt GTLN=1 khi (*) có nghiệm kép

max=11/2 khi x=1/3

min=1/2 khi x=-3

mk chỉ làm dk min thoy bạn thông cảm.

\(\frac{x^2+3x+5}{x^2+1}=\frac{2x^2+6x+10}{2\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(x+3\right)^2+\left(x^2+1\right)}{2\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(x+3\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\) Dấu = xảy ra khi x+3=0 <---> x=-3

Ta có : A = x² - 4x + 1 

=> A = x² - 2.x.2 + 4 - 3 

=> A = (x - 2)² - 3 

Mà : (x - 2)² \(\ge0\forall x\in R\)

Nên :   (x - 2)² - 3 \(\ge-3\forall x\in R\)

Vậy GTNN của A là -3 khi x = 2 

\(B=4x^2+4x+11=\left(2x\right)^2+2.2x.1+1+10=\left(2x+1\right)^2+10\)

Vì \(\left(2x+1\right)^2\ge0\Rightarrow B=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)

Dấu "=" xảy ra khi (2x+1)²=0 <=> 2x+1=0 <=> x=-1/2

Vậy gtnn của B là 10 khi x=-1/2
---

\(C=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\)

Dấu "=" xảy ra khi x=0 hoặc x=-5

\(D=5-8x-x^2=5+16-16-8x-x^2=21-\left(16+8x+x^2\right)=21-\left(x+4\right)^2\le21\)

Dấu "=" xảy ra khi x=-4

---

\(E=4x-x^2+1=1+4-x^2+4x-4=5-\left(x^2-4x+4\right)=5-\left(x-2\right)^2\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi x=2

Trình bày thì tương tự phần B mình đã trình bày