đổi k ko,mk hứa sẽ k lại(nếu ko làm chó!!!!!!!!!!!!!)

Bài 1: <Cho là câu a đi>:

a. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow1-\frac{1}{x+1}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow\frac{1}{x+1}=1-\frac{49}{50}=\frac{1}{50}\) 

\(\rightarrow x+1=50\rightarrow x=49\) 

Vậy x = 49.

Tìm x, y nguyên dương để :  \(\frac{1}{x}+\frac{y}{2}=\frac{5}{8}\)

Ta có :  \(\frac{1}{x}+\frac{y}{2}=\frac{5}{8}\)  =>   \(\frac{5}{8}-\frac{y}{2}=\frac{1}{x}\)

=>    \(\frac{5-4y}{8}=\frac{1}{x}\)       =>     \(\left(5-4y\right)x=8\)

=> 5 - 4y; x là ước của 8

Ta có bảng :

Vì x,y nguyên dương => x = 8 ; y = 1

Vậy x = 8; y = 1 là 2 giá trị cần tìm

Study well ! >_<

\((x-2)^2\cdot(y-1)\varepsilonƯ(8)=[1,2,4,8,-1,-2,-4,-8]\)8

ta có bảng sau

 x và y còn lại tự tính nhé

sao tôi lại thấy tên tôi nhỉ ?

Machi!Rồi bạn trong đội tuyển văn không?

Bài này khá khó nên ta sẽ áp dụng 1 BĐT hơi nâng cao 1 tí: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)Để chứng minh thì bạn lên google search BĐT Mincovski hay BĐT véc-tơ nha !!

Còn nếu muốn try hard thì bạn thử bình phương 2 vế roi dùng Bunnhiacốpxki.

Ok giờ vô bài nha:  \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2020\)

\(\Rightarrow\left[\left(\sqrt{1+x^2}\right)-x^2\right]\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2020\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{1+y^2}=2020\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\)(1)

Hoàn toàn tương tự đối với y --> \(x+\sqrt{1+x^2}=2020\left(\sqrt{1+y^2}-y\right)\)(2)

Cộng 2 vế của (1) và (2)---> \(\left(x+y\right)+\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)=2020\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)-2020\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow2021\left(x+y\right)=2019\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)(3)

Giờ áp dụng BĐT phía trên đầu nha:

\(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}=\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)

Thế vào (3)--> \(2021\left(x+y\right)\ge2019\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)hay \(2021P\ge2019\sqrt{P^2+4}\)

Bình phương 2 vế \(2021^2P^2\ge2019^2\left(P^2+4\right)\Leftrightarrow P^2\ge\frac{2019^2.4}{8080}\Leftrightarrow P\ge\frac{2019}{2\sqrt{505}}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{2019}{2\sqrt{505}}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{2019}{4\sqrt{505}}\)

Ta có \(y=\frac{5x+3}{xy\left(x+y\right)+x+y+\left(x+y\right)^2}=\frac{5x+3}{\left(x+y\right)\left(xy+1+x+y\right)}=\frac{5x+3}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)\left(x+1\right)}\)

Mà \(x,y\in Z\)

=> \(\frac{5x+3}{x+1}=5+\frac{-2}{x+1}\)là số nguyên

=> \(x+1\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

=> \(x\in\left\{-3;-2;0;1\right\}\)

+ x=-3

=> \(y=\frac{6}{\left(y-3\right)\left(y+1\right)}\)

=> \(y^3-2y^2-3y-6=0\)(không có giá trị nguyên nào của y tm)

+ x=-2

=> \(y=\frac{7}{\left(y-2\right)\left(y+1\right)}\)=> \(y^3-y^2-2y-7=0\)(không có gt y nguyên tm)

+ \(x=0\)

=> \(y=\frac{3}{y\left(y+1\right)}\)=> \(y^3+y^2-3=0\)(không có gt y nguyên tm)

+ x=1

=> \(y=\frac{4}{\left(y+1\right)\left(y+1\right)}\)=> \(y^3+2y^2+2y-4=0\)(loại)

Vậy không có giá trị x,y nguyên TM đề bài

\(x^2+y+\frac{3}{4}\ge x^2+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{4}}+\left(y+\frac{1}{2}\right)\ge x+y+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(x+y+\frac{1}{2}\right)^2=\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)+\left(y+\frac{1}{4}\right)\right]^2\ge4\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)\)

\(=\left(2x+\frac{1}{2}\right)\left(2y+\frac{1}{2}\right)\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(PT\Leftrightarrow x^2y^2+y^3+x^3+\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)+xy+\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{9}{16}=4xy+x+y+\frac{1}{4}.\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\frac{3}{4}\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-3xy+\frac{5}{16}=0\)

Đặt \(x+y=a,xy=b\)

\(\Rightarrow b^2+a^3-3ab+\frac{3}{4}\left(a^2-2b\right)+\frac{a}{4}-3b+\frac{5}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow16b^2+16a^3-48ab+12a^2-24b+4a-48b+5=0\)

\(\Leftrightarrow16b^2+16a^3-48ab+12a^2-72b+4a+5=0\)

Đến đây phân tích thành nhân tử hay sao ấy, chưa nghĩ ra :P