a: Đặt \(A\left(x\right)=x^5-5x^3+4x-1\)

Vì A(x) là đa thức bậc 5 nên A(x) có tối đa 5 nghiệm(*)

\(A\left(-2\right)=\left(-2\right)^5-5\cdot\left(-2\right)^3+4\cdot\left(-2\right)-1=-1\)

\(A\left(-1,5\right)=\left(-1,5\right)^5-5\cdot\left(-1,5\right)^3+4\cdot\left(-1,5\right)-1=\dfrac{73}{32}\)

\(A\left(1\right)=1^5-5\cdot1^3+4\cdot1-1=-1\)

Vì \(A\left(-2\right)\cdot A\left(-1,5\right)< 0\)

nên phương trình A(x)=0 có một nghiệm thuộc đoạn (-2;-1,5)(1)

Vì \(A\left(-1,5\right)\cdot A\left(1\right)< 0\)

nên phương trình A(x)=0 có một nghiệm thuộc đoạn (-1,5;1)(2)

\(A\left(0\right)=0^5-5\cdot0^3+4\cdot0-1=-1\)

\(A\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5-5\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+4\cdot\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{13}{32}\)

\(A\left(1\right)=1^5-5\cdot1^3+4\cdot1-1=-1\)

Vì \(A\left(0\right)\cdot A\left(\dfrac{1}{2}\right)< 0\)

nên phương trình A(x)=0 có một nghiệm thuộc đoạn (0;1/2)(3)

Vì A(1/2)*A(1)<0

nên phương trình A(x)=0 có một nghiệm thuộc đoạn (1/2;1)(4)

\(A\left(2\right)=2^5-5\cdot2^3+4\cdot2-1=-1\)

\(A\left(3\right)=3^5-5\cdot3^3+4\cdot3-1=119\)

Vì A(2)*A(3)<0 

nên phương trình A(x)=0 có một nghiệm thuộc đoạn (2;3)(5)

Từ (1),(2),(3),(4),(5) suy ra A(x) có ít nhất 5 nghiệm

Kết hợp với cả (*), ta được: A(x) có đúng 5 nghiệm

b: Đặt \(B\left(x\right)=4x^3-8x^2+1\)

\(B\left(-0,5\right)=4\cdot\left(-0,5\right)^3-8\cdot\left(-0,5\right)^2+1=-1,5\)

\(B\left(0\right)=4\cdot0^3-8\cdot0^2+1=1\)

Vì \(B\left(-0,5\right)\cdot B\left(0\right)< 0\)

nên phương trình B(x)=0 có một nghiệm thuộc (-0,5;0)

=>Phương trình \(4x^3-8x^2+1=0\) có nghiệm thuộc (-1;2)

Đề bài mình viết thiếu là CM biểu thức sau không phụ thuộc vào x ( nghĩa là kết quả phải ra số tự nhiên không có x ) 

\(A=\left(2x+1\right)\left(x-1\right)-2x\left(x+2\right)-5\left(-x+3\right)+4\)

\(=2x^2-2x+x-1-2x^2-4x+5x-15+4\)

\(=-12\left(đpcm\right)\)

\(B=\left(4x+3\right)\left(2x-5\right)-\left(8x+1\right)\left(x+3\right)+13\left(3x+1\right)+2\)

\(=8x^2-20x+6x-15-\left(8x^2+24x+x+3\right)+39x+13+2\)

\(=-3\left(đpcm\right)\)

\(4x^2-8x+5=\left(2x\right)^2-2.2.2x+4+1=\left(2x-1\right)^2+1>0\)(luon duong)

\(4x^2-8x+5\)

\(=\left(2x\right)^2-2×2×2x+1+4\)

\(=\left(2x-1\right)^2+1\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+1>0\)

Vậy biểu thức trên luôn dương !!!

\(\dfrac{x-1}{2x^2-4x}-\dfrac{7}{8x}=\dfrac{5-x}{4x^2-8x}-\dfrac{1}{8x-16}\) ( ĐKXĐ: \(x\ne0;x\ne2\) )

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2x\left(x-2\right)}-\dfrac{7}{8x}=\dfrac{5-x}{4x\left(x-2\right)}-\dfrac{1}{8\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)4}{8x\left(x-2\right)}-\dfrac{7\left(x-2\right)}{8x\left(x-2\right)}=\dfrac{2\left(5-x\right)}{8x\left(x-2\right)}-\dfrac{1x}{8x\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow4x-4-7x+14=10-2x-x\)

\(\Leftrightarrow-3x+2x+x=10+4-14\)

\(\Leftrightarrow0=0\)

          Vậy pt đã cho có nghiệm đúng với mọi x

Trả lời:

\(\frac{x-1}{2x^2-4x}-\frac{7}{8x}=\frac{5-x}{4x^2-8x}-\frac{1}{8x-16}\)\(\left(đkxđ:x\ne0;x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{2x\left(x-2\right)}-\frac{7}{8x}=\frac{5-x}{4x\left(x-2\right)}-\frac{1}{8\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x-1\right)}{8x\left(x-2\right)}-\frac{7\left(x-2\right)}{8x\left(x-2\right)}=\frac{2\left(5-x\right)}{8x\left(x-2\right)}-\frac{x}{8x\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow4\left(x-1\right)-7\left(x-2\right)=2\left(5-x\right)-x\)

\(\Leftrightarrow4x-4-7x+14=10-2x-x\)

\(\Leftrightarrow10-3x=10-3x\)

\(\Leftrightarrow-3x+3x=10-10\)

\(\Leftrightarrow0x=0\)( luôn thỏa mãn )

Vậy S = R với \(x\ne0;x\ne2\)

1)

Ta có: \(x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x+2\right)^2+1\ge1>0\left(đpcm\right)\)

2)

Ta có:\(-x^2+8x-17=-x^2+8x-16-1=-\left(x^2-8x+16\right)-1=-\left(x-4\right)^2-1\le-1< 0\)

Lời giải:

ĐK:.......

Đặt $4x^2+4x+5=a\Rightarrow 8x^2+8x+11=2a+1; 4-4x^2-4x=9-a$

PT trở thành:

$\sqrt{a}+\sqrt{2a+1}=9-a\Leftrightarrow \sqrt{a}-2+\sqrt{2a+1}-3+(a-4)=0$

$\Leftrightarrow \frac{a-4}{\sqrt{a}+2}+\frac{2(a-4)}{\sqrt{2a+1}+3}+(a-4)=0$

$\Leftrightarrow (a-4)\left(\frac{1}{\sqrt{a}+2}+\frac{2}{\sqrt{2a+1}+3}+1\right)=0$

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn $0$ nên $a-4=0$

$\Rightarrow a=4$

$\Leftrightarrow 4x^2+4x+5=4$

$\Leftrightarrow 4x^2+4x+1=0\Leftrightarrow (2x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$