Ta có:

M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)  + 1

M = [(a + 1)(a + 4)][(a + 2)(a + 3)] + 1

M = (a² + 4a + a + 4)(a² + 3a + 2a + 6) + 1

M = (a² + 5a + 4)(a² + 5a + 6) + 1

M = (a² + 5a + 4)² + 2(a² + 5a + 4) + 1

M = (a² + 5a + 4 + 1)²

M = (a² + 5a + 5)²

=> M là bình phương của 1 số nguyên 

\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(M=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)

\(M=\left[a\left(a+4\right)+\left(a+4\right)\right]\left[a\left(a+3\right)+2\left(a+3\right)\right]+1\)

\(M=\left(a^2+4a+a+4\right)\left(a^2+3a+2a+6\right)+1\)

\(M=\left(a^2+5a+5\right)^2-1+1\)

\(M=a^2+5a+5\)

Mà \(a\inℤ\Rightarrow\left(a^2+5a+5\right)\inℤ\)

Vậy,..................

tranvantoancv.violet.vn/present/showprint/entry_id/11064865

Để ý hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 4. Nếu A(x) phân tích được thành nhân tử thì nó có 1 trong 2 dạng sau:

Dạng 1: \(A\left(x\right)=\left(x^2+ax+2\right)^2=x^4+2ax^3+\left(a^2+4\right)x^2+4ax+4\)

Đồng nhất hệ số, ta có: \(2a=2m;\text{ }a^2+4=0;\text{ }4a=-4m\text{ (vô nghiệm)}\)

Dạng 2: \(A\left(x\right)=\left(x^2+ax-2\right)^2=x^4+2ax^3+\left(a^2-4\right)x^2-4ax+4\)

Đồng nhất hệ số: \(2a=2m;\text{ }a^2-4=0;\text{ }-4a=-4m\)

\(\Leftrightarrow a=m;\text{ }\left(a=2\text{ hoặc }a=-2\right)\)

\(\Rightarrow m=2\text{ hoặc }m=-2\)

1. \(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)^2+2\left(a^2+5a+4\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+5\right)^2\) 

=> Đpcm

M = ( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 ) + 1

    = [ ( a + 1 )( a + 4 ) ][ ( a + 2 )( a + 3 ) ] + 1

    = [ a² + 5a + 4 ][ a² + 5a + 6 ] + 1

Đặt t = a² + 5a + 4

M <=> t[ t + 2 ] + 1

      = t² + 2t + 1

      = ( t + 1 )²

      = ( a² + 5a + 4 + 1 )² = ( a² + 5a + 5 )² ( đpcm )

( x² + x + 1 )( x² + x + 2 ) - 12 (*)

Đặt t = x² + x + 1

(*) <=> t( t + 1 ) - 12

       = t² + t - 12

       = t² - 3t + 4t - 12

       = t( t - 3 ) + 4( t - 3 )

       = ( t - 3 )( t + 4 )

       = ( x² + x + 1 - 3 )( x² + x + 1 + 4 )

       = ( x² + x - 2 )( x² + x + 5 )

       = ( x² + 2x - x - 2 )( x² + x + 5 )

       = [ x( x + 2 ) - 1( x + 2 ) ]( x² + x + 5 )

       = ( x + 2 )( x - 1 )( x² + x + 5 )

2. Đặt  \(t=x^2+x+1\)

pt \(\Leftrightarrow t\left(t+1\right)-12\)

\(=t^2+t-12\)

\(=t^2+4t-3t-12\)

\(=t\left(t+4\right)-3\left(t+4\right)\)

\(=\left(t-3\right)\left(t+4\right)\)

Thay vào ta được \(\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x+5\right)\)

\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

Đặt \(a^2+5a+4=t\)

\(\Rightarrow M=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2\) là số  chính phương

\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(=\left(a+1\right)\left(a+4\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)^2+2\left(a^2+5a+4\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+5\right)^2\) là bình phương của 1 số nguyên (đpcm)

M=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1

=(x²+5x+4)(x²+5x+6)+1

dat x²+5x+5=a ta co 

M=(a+1)(a-1)+1

=a²-1+1

=a²

thay a boi x²+5x+5 ta co M=(x²+5x+5)² (1)

ma x la so nguyen nen x²+5x+5 la so nguyen (2)

tu (1) va (2) thi M la binh phuong cua 1 so nguyen