1. \(A=2^{2016}-1\)

\(2\equiv-1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}\equiv1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}-1\equiv0\left(mod3\right)\\ \Rightarrow A⋮3\)

\(2^{2016}=\left(2^4\right)^{504}=16^{504}\)

16 chia 5 dư 1 nên 16^504 chia 5 dư 1

=> 16^504-1 chia hết cho 5

hay A chia hết cho 5

\(2^{2016}-1=\left(2^3\right)^{672}-1=8^{672}-1⋮7\)

lý luận TT trg hợp A chia hết cho 5

(3;5;7)=1 = > A chia hết cho 105

2;3;4 TT ạ !!

Chứng minh chia hết cho 2:

Ta có: \(3^{2^{4n+1}}\) là số lẻ và \(5\)là số lẻ nên

\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮2\left(1\right)\)

Chứng minh chia hết cho 11: (dùng \(\exists\)làm ký hiệu đồng dư)

Theo Fecma vì 11 là số nguyên tố nên

\(\Rightarrow3^{11-1}=3^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(2\right)\)

Ta lại có: \(2^{4n+1}=2.16^n\exists2\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2^{4n+1}=10k+2\)

Kết hợp với (2) ta được

\(\Rightarrow3^{4n+1}=3^{10k+2}=9.3^{10k}\exists9\left(mod11\right)\left(3\right)\)

Tương tự ta có:

\(\Rightarrow2^{11-1}=2^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(4\right)\)

Ta lại có: 

\(3^{4n+1}=3.81^n\exists3\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow3^{4n+1}=10l+3\)

Kết hợp với (4) ta được

\(2^{3^{4n+1}}=2^{10l+3}=8.2^{10l}\exists8\left(mol11\right)\left(5\right)\)

Từ (3) và (5) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)\exists\left(9+8+5\right)\exists22\exists0\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮11\left(6\right)\)

Từ (1) và (6) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮\left(2.11\right)=22\)

\(2^{3^{4n+1}}\) chia hết cho 2

\(3^{2^{4n+1}}\) ko chia hết cho 2 => nó là số lẻ

5 là số ko chia hết cho 2 => nó là số lẻ

mà số lẻ + lẻ = số chia hết cho 2

=> \(2^{3^{4n+1}}\)+ \(3^{2^{4n+1}}\) + 5 chia hết cho 2

=> HỢP SỐ

Ta có:

\(3^{4n+1}=3.81^n\text{≡}3\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow3^{4n+1}=10k+3\)

\(\Rightarrow2^{3^{4n+1}}=2^{10k+3}=8.1024^k\text{≡}8\left(mod11\right)\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(2^{4n+1}=2.16^n\text{≡}2\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow2^{4n+1}=5a+2\)

\(\Rightarrow3^{2^{4n+1}}=3^{5a+2}=9.243^a\text{≡}9\left(mod11\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\text{≡}9+8+5\text{≡}22\text{≡}0\left(mod11\right)\)

thiếu đk của n 

nếu có đk n tự nhiên thì hình như dùng đồng dư + 1 chút fermat 

a) Vì 2^4k+1 = 2^4k.2 = ....6^k .2

Mà ...6^k có tận cùng là 6 nên 2^4k+1 có tận cùng là 2

=> ....2 + 3 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5

Còn câu b bạn viết lại đề đúng đi

b) Vì 2^4k+2 = 2^4k.2² = ...6^k.2²

Mà ...6^k có tận cùng là 6 và 2² có tận cùng là 4 nên 2^4k+2 có tận cùng là 4

=> ...4 + 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5

Em nên gõ công thức trực quan để đề bài rõ ràng nhé

đặt A=2^4n+1

=16^n.2

16^n đồng dư với 6 (mod 10)

=>16^n.2 đồng dư với 2.6=12=2(mod 10)

A chia 10 dư 2=10k+2(k thuộc N)

đặt B=3^4n+1

=81^n.3 đồng dư với 1.3=3 ( mod 10)

=>B chia 10 dư 3=10p+3(p thuộc N)

ta có 3^2^4n+1  + 3^3^4n+1     +5

=3^10k+2    +  3^10p+3     +5

3^10 đồng dư với 1 (mod 11)

=>3^10k+2 đồng dư với 1.3^2=9(mod 11)

=>3^10p+3 đồng dư với 1.3^3=27(mod 11)

5 đồng dư với 5(mod 11)

=> 3^2^4n+1    + 3^3^4n+1    +5 đồng dư với 9+27+5=41(mod 11)

=> đề sai! phải là 2^3^4n+1 mới đúng