A=n^5-n-5n

n^5-n chia hết cho 5 do 5 là số nguyên tố

-5n chia hết cho 5

=>A chia hết cho 5

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Áp dụng hằng đẳng thức có dạng a²-b²=(a-b)(a+b) vào bài này ta có 

n⁵-n=n.(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)

= n(n-1)(n+1)(n²+1)

= n(n-1)(n+1)(n²-4+5)

= n(n-1)(n+1)(n²-4)+5n(n-1)(n+1)

=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

Nhận thấy n-2;n-1;n;n+1;n+2 là 5 số nguyên liên tiếp nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 2,3,5

Mà(2;3;5)=1 =>  (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30 (1)

Lại có n-1;n;n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 2;3

Mà (2;3)=1 => n(n-1)(n+1) chia hết cho 6

Và (5;6)=1 => 5n(n-1)(n+1) chia hết cho 30(2)

Từ (1) và (2) => n⁵-n chia hết cho 30 với mọi x thuộc Z

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

               Bài làm :

\(a\text{)}\left(n^3-n\right)=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp ⋮ 6 nên : n³ - n ⋮ 6

=> Điều phải chứng minh

\(b\text{)}n^5-m=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì :

=> (n⁵-n) ⋮5

=> Điều phải chứng minh

 \(\text{c)}n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\text{[}n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\text{]}=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\text{Vì : }n-2;n-1;n;n+1;n+2\text{là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,5,8}\)

Mà 3,5,8 nguyên tố cùng nhau nên :

\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3.5.8=120\) \(\)

=> Điều phải chứng minh

a) n³ - n = n( n² - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )

Ta có n( n - 1 ) là hai số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là ba số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6 hay n³ - n chia hết cho 6 ( đpcm ) 

b) n⁵ - n = n( n⁴ - 1 ) = n( n² - 1 )( n² + 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n² + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )[ ( n² - 4 ) + 5 ]

= n( n - 1 )( n + 1 )( n² - 4 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (1)

5n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

c) n⁵ - 5n³ + 4n = n( n⁴ - 5n² + 4 )

Xét n⁴ - 5n² + 4 (*)

Đặt t = n² 

(*) <=> t² - 5t + 4 = t² - t - 4t + 4 = t( t - 1 ) - 4( t - 1 ) = ( t - 1 )( t - 4 ) = ( n² - 1 )( n² - 4 )

=> n( n⁴ - 5n² + 4 ) = n( n² - 1 )( n² - 4 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )

n( n - 1 ) là tích của hai số nguyên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 ) là tích của 4 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 4 (3)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => đpcm

Bạn tự phân tích nhân tử cái biểu thức A thành: 

\(A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

a) \(n^2\ge0\Rightarrow n^2+1\ge1>0\)

\(A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=0\)<=> n-1=0 hoặc n=0 hoặc n+1=0

<=>n=1 hoặc n=0 hoặc n=-1

Vậy A=0 khi \(n\in\left\{-1;0;1\right\}\)

b) Dễ thấy (n-1)n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong tích này có ít nhất 1 thừa số chia hết chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3 (1)

Xét:

=>\(A=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+1+1\right)\left[\left(5k+1\right)^2+1\right]\)

\(=5k\left(5k+1\right)\left(5k+2\right)\left[\left(5k+1\right)^2+1\right]⋮5\)

=>\(A=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2\right)\left(5k+2+1\right)\left[\left(5k+2\right)^2+1\right]\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)5\left(5k^2+4k+1\right)⋮5\)

=>\(A=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3\right)\left(5k+3+1\right)\left[\left(5k+3\right)^2+1\right]\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)\left(5k+4\right)5\left(5k^2+6k+2\right)⋮5\)

=>\(A=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4\right)\left(5k+4+1\right)\left[\left(5k+4\right)^2+1\right]\)

\(=\left(5k+3\right)\left(5k+4\right)\left(5k+5\right)\left[\left(5k+4\right)^2+1\right]\)

\(=\left(5k+3\right)\left(5k+4\right)5\left(k+1\right)\left[\left(5k+4\right)^2+1\right]⋮5\)

Vậy A chia hết cho 5 với mọi n thuộc Z (2)

Từ (1) và (2) và 2;3;5 là các số nguyên tố đôi một cùng nhau => A chia hết cho 2.3.5=30 (đpcm)

cảm ơn ạ

BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?

Nếu có thì bn xem nhé!

Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn

Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!