giúp mình với cho x+y+z=3 Tìm GTLN xy/(x+3y+2z) + yz/(y+3z+2x) + zx/(z+3x+2y)

*) tìm giá trị lớn nhất: từ giả thiết \(\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3\le x^2\\y^3\le y^2\end{cases}\Leftrightarrow}x^3+y^3\le x^2+y^2=1}\)

maxA=1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3=x^2\\y^3=y^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{cases}}}\)

*) tìm giá trị nhỏ nhất \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=1\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\Rightarrow\frac{x+y}{\sqrt{2}}\le1\)

do đó \(x^3+y^3\ge\frac{\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{2}}\)theo bđt Bunhiacopxki

\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)=\left[\left(\sqrt{x^3}\right)^2+\left(\sqrt{y^3}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\)

\(\ge\left(\sqrt{x^3}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{y^3}\cdot\sqrt{y}\right)^2=x^2+y^2=1\)

vậy minA=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

ADBDT Cauchy:

2(x^2+y^2)>=(x+y)^2

Dau = khi x=y

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

--------------

Tìm max:

$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$

$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$

Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.

Ta có : x + y = 1 => y = 1 - x

Do đó: \(0\le x\le1\)

\(A=x^2+\left(1-x\right)^2=2x^2-2x+1\)

\(=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

Min A = 1/2

Dấu = xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Do \(0\le x\le1\) nên \(x\left(x-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow A=2x\left(x-1\right)+1\le1\)

Max A =1

Dấu = xảy ra khi: \(\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow y=0\\x=0\Rightarrow y=1\end{cases}}\)

=.= hok tốt!!

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Em ko chắc lắm đâu, tại yếu dạng điểm rơi tại biên này lắm.

*Tìm min

Ta có: \(S\ge x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\) (cái này dễ chứng minh) (Đẳng thức xảy ra khi có một số = 0 (hoặc 2 số "=" 0) )

Ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\ge\frac{9}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3xyz\ge2xy+2yz+2zx\)

Do \(\left[x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\right]\left[y\left(z-1\right)\left(x-1\right)\right]\left[z\left(x-1\right)\left(y-1\right)\right]\)

\(=xyz\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2\ge0\) nên tồn tại ít nhất 1 thừa số không âm. Ở đây em sẽ chứng minh trường hợp \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\). Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Do \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow3xyz\ge3xy+3xz-3x\)

Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+zx-3x-2yz\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)+\left(y-z\right)^2\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\) và các hoán vị.

*Tìm Max:

Chưa nghĩ ra.

Chết,bài tìm min nhầm chút:(dòng 10)

Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+yz-3x-2yz\ge0\)

Ta có;\(VT=x\left(x+y+z-3\right)+\left(y-z\right)^2=\left(y-z\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)

Như vầy nha!

*Tìm Max:

Dễ chứng minh:\(S\le x^2+y^2+z^2+6xyz\)

Như vậy ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+6xyz\le9=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx-3xyz\right)\ge0\)

BĐT này đúng vì \(xy+yz+zx-3xyz\ge3\left[\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2-\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^3\right]\)

\(=3\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2\left[1-\sqrt[3]{xyz}\right]\ge3\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2\left(1-\frac{x+y+z}{3}\right)=0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị.