Cả 2 biểu thức này đều ko tồn tại GTNN

GTNN chỉ tồn tại khi có thêm điều kiện, với \(\dfrac{x^2}{x+3}\) thì điều kiện là \(x>-3\), còn \(\dfrac{x^2}{x-2}\) thì điều kiện là \(x>2\)

Giả sử có thêm điều kiện tương ứng (lần lượt là x>-3 và x>2)

Đặt \(A=\dfrac{x^2}{x+3}=\dfrac{x^2-9+9}{x+3}=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)+9}{x+3}=x-3+\dfrac{9}{x+3}\)

\(A=x+3+\dfrac{9}{x+3}-6\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(x+3\right)}{x+3}}-6=0\)

\(A_{min}=0\) khi \(x+3=\dfrac{9}{x+3}\Rightarrow x=0\)

Đặt \(B=\dfrac{x^2}{x-2}=\dfrac{x^2-4+4}{x-2}=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+4}{x-2}=x+2+\dfrac{4}{x-2}\)

\(B=x-2+\dfrac{4}{x-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{4\left(x-2\right)}{x-2}}+4=8\)

\(B_{min}=8\) khi \(x-2=\dfrac{4}{x-2}\Rightarrow x=4\)

Lời giải:
1. Chỉ áp dụng được khi $x\geq 0$

$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$

2. $x^2-1=(x-1)(x+1)$

3. $x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$ (chỉ áp dụng cho $x\geq 0$)

4. $x^2-4x+4=x^2-2.2x+2^2=(x-2)^2$
5. $x-4\sqrt{x}+4=(\sqrt{x})^2-2.2\sqrt{x}+2^2=(\sqrt{x}-2)^2$

6. $\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{2x}{x-1}$

$=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{3x+2\sqrt{x}+1}{x-1}$

Độ biến thiên động năng bằng công của lực điện trường:

\({W_d} - {W_{d0}} = A \Rightarrow \frac{1}{2}m{v^2} - 0 = {q_e}Ed \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2{q_e}Ed}}{m}} \)

\(x+\sqrt{2-x}\ge2\sqrt{x\sqrt{2-x}}\)

Bìa này không thể dùng cauchy bạn ạ

mình bình phương lên

Chưa có điều kiện của x, cụ thể là chưa cho x là một số không âm thì không thể dùng BĐT Cauchy được nhé.

Áp dụng cosi có:

\(\sqrt{x\left(2x+y\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{5x+y}{2}\)

\(\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{5y+x}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{x+y}{\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(6x+6y\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Dấu = xảy ra khi x=y

Bài này áp dụng bunhia :v

Áp dụng bunhia với 2 cặp số `(sqrtx,sqrty),(sqrt{2x+y},sqrt{2y+x})`

`(x+y)(2x+y+2y+x)>=(sqrt{x(2x+y)}+sqrt{y(2y+x)})^{2}`

`<=>3(x+y)^{2}>=(sqrt{x(2x+y)}+sqrt{y(2y+x)})^{2}`

`=>sqrt{x(2x+y)}+sqrt{(2y+x)}<=sqrt3(x+y)`

`=>P>=1/sqrt3`

Dấu "="`<=>x=y`

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2\sqrt{\frac{a^2}{4}}=2.\frac{a}{2}=a\)

định lí cô-si là định lí gì vậy lạ wá đâu có fải toán lớp 8

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}=2\sqrt{\frac{a^2}{4}=}2.\frac{a}{2}=2.a:2=1a\left(2:2\right)=1a1=>=a}\)

áp dụng BĐT buniacopxki,ta có:\(\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(2-\left(x^2+y^2\right)\right)\)

↔\(1\le\left(x^2+y^2\right)\left(2-\left(x^2+y^2\right)\right)\)

Đặt x²+y²=a(a>=0),ta có:\(1\le a\left(2-a\right)\)↔a²-2a+1\(\ge\)0 hay\(\left(a-1\right)^2\ge0\)

dấu = xảy ra khi a=1 do đó x²+y²=1