A=1/2.2+1/3.3+1/4.4+..+1/20.20

NX : 1/2.2<1/1.2

       1/3.3<1/2.3

       1/4.4<1/3.4 

       ....

       1/20.20<1/19.20

suy ra: A<1-1/20

suy ra : A< 19/20 

NX: Vì A<19/20 mà 19/21<19/20 

suy ra 19/21>A (đpcm)

a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)

Theo bài ra, ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì (a-b)² chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

                                Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

Giả sử số 1 là tổng nghịch đảo của bốn số lẻ a, b, c, d: 
1=1/a+1/b+1/c+1/d 
=> a.b.c.d=bcd+acd+abd+abc 
Vế phải là số chẳn, còn vế trái là số lẻ.

Điều này không thể xảy ra. 
Vậy số 1 không thể là tổng nghịch đảo của bốn số lẻ

Gọi phân số dương là \(\dfrac{a}{b}\) và phân số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}\)

với điều kiện:  a > 0; b > 0; a ≥ b 

=>  a = b + m (m ≥ 0)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{a}{b}\) + \(\dfrac{b}{a}\) = \(\dfrac{b+m}{b}\) + \(\dfrac{b}{b+m}\) = 1 + \(\dfrac{m}{b}\) + \(\dfrac{b}{b+m}\) ≥ 1 + \(\dfrac{m}{b+m}\) + \(\dfrac{b}{b+m}\) = 1 + \(\dfrac{m+b}{m+b}\) = 2

=> \(\dfrac{a}{b}\) + \(\dfrac{b}{a}\) ≥ 2    (điều phải chứng minh)

_______________________________________________

Có gì không đúng nhắn mình nha bạn :))