Một số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 3 sẽ có 2 khả năng xảy ra 

p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 ;

Với p = 3k + 1

=> (p + 1)(p - 1) = p²-1=(3k+1)²-1=9k²+6k=3k(3k+2)

Vì đây là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 , 3 => (p-1)(p+1) chia hết cho 6

C/m tương tự để chia hết cho 24

Với p = 3k + 2

tương tự

P là số nguyên tố lớn hơn 3 => P không chia hết cho 2 cho 3 

Ta có :P không chia hết cho 2

=> P-1 và P+1 là 2 số chẵn liên tiếp => (P-1)(P+1) chia hết cho 8 (1)

Mặt khác:P không chia hết cho 3

Nếu P= 3k +1 thì P-1 =3k chia hết cho 3 => (P-1(P+1) chia hết cho 3

Tương tự: Nếu P= 3k+2 thì P+1=3k +3 chia hết cho 3 => (P-1(P+1) chia hết cho 3(2)

Từ (1)(2)=>(P-1)(P+1) chia hết cho 8 cho 3 mà (8;3)=1 =>(P-1)(P+1) chia hết cho 24

 số nguyên tố lớn hơn 3 có dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2 xét 2 trường hợp này rồi ra

vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và khi chia p cho 3 số dư có thể là 1 hoặc 2

trường hợp 1 ; nếu p chia cho 3 dư 1 thì p-1 chia hết  cho 3 do đó (p-1)(p+1) chia hết cho 3  

tường hợp 2 ;nếu p chia hết cho 3 dư 2 thì p+1 chia hết cho 3 do đó (p-1)(p+1) chia hết cho 3 

vì p là số lẻ nên (p-1)(p+1) là hai số chẵn liên tiếp do dó (p-1)(p+10 chia hết cho 8 ( tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8)mà(p-1)(p+1)chia hết cho 3 và BCNN(3;8) = 24 nên (p-1)(p+1) chia hết cho 24 

Ta có : (p-1)(p+1) = p² - 1

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ko chia hết cho 3. Suy ra : p² không chia hết cho 3

\(\Rightarrow\)p² chia 3 dư 1 (Vì p² là số chính phương)

\(\Rightarrow\)p² -1 \(⋮\)3

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 2. Suy ra p-1\(⋮\)2 và p+1\(⋮\)2.

\(\Rightarrow\)(p-1)(p+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

Do đó: (p-1)(p+1) \(⋮\)8

Vì (p-1)(p+1) chia hết cho 3 và 8 nên (p-1)(p+1) \(⋮\)24 (đpcm)

p là số nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. 
- Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1) 
- Nếu p = 3k - 1 thì p + 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (2) 
Từ (1) và (2) -> (p-1)(p+1) luôn chia hết cho 3 (3) 
Mặt khác, p là số nguyên tố > 3 nên p là số lẻ -> p = 2h + 1 -> (p - 1)(p + 1) = (2h + 1 - 1)(2h + 1 + 1) = 2h(2h + 2) = 4h(h +1) 
h(h + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp -> h(h + 1) chia hết cho 2 -> 4h(h + 1) chia hết cho 8 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8 (4) 
Ta lại có: 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau (5) 
Từ (3), (4) và (5) -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.

HAPPY NEW YEAR!!!!!!!!!!!!

P là số nguyên tố lớn hơn 3 => P ko chia hết 2 và 3 

ta có : P ko chia hết 2

=> P-1 và P+1 là 2 số chẵn liên tiếp =>(P-1)x(P+1)chia hết cho 8 (1)

mặt khác : P ko chia hết cho 3

nếu P=3k+1 thì P-1=3k+3 chia hết cho 3 => (P-1(P+1) chia hết 3

<=> Nếu P=3k+2 thì p-1=3k chia hết cho 3=> (P-1 (p+1) chia hết cho 3(2)

từ (1),(2) => (p-1)x(p+1) chia hết cho 8 cho 3 mà (8;3)=1=>(p-1)x(p+1) chia hết 24

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p = 3k+1 hoặc p = 3k+2 (k ∈ N*).

Nếu p = 3k+1 thì 2p+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+3 ∈ 3 và 6k+3 > 3 nên 2p+1 là hợp số (loại).

Vậy p = 3k+2. Khi đó 4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 ∈ 3 và 12k+9>3 nên là hợp số.

Vì a nguyên tố lớn hơn 3 => a lẻ => a² chia 8 dư 1 =>a²-1 chia hết cho 8 

Vì thế a² chia 3 cũng dư 1 => a²-1 chia hết cho 3 

mà (3;8) =1 =>a²-1 chia hết cho 24

Câu hỏi của Lương Nhất Chi - Toán lớp 6 | Học trực tuyến bấm vào