Lời giải:

\((2x+1)\sqrt{x^2-x+1}>(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{4x^2-4x+4}> (2x-1)\sqrt{4x^2+4x+4}\)

\(\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{(2x-1)^2+3}>(2x-1)\sqrt{(2x+1)^2+3}\) (1)

Xét các TH sau:

TH1: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1>0\\ 2x+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x>0\)

Bình phương hai vế:

\((1)\Leftrightarrow (2x+1)^2[(2x-1)^2+3]\geq (2x-1)^2[(2x+1)^2+3]\)

\(\Leftrightarrow 3(2x+1)^2\geq 3(2x-1)^2\)

\(\Leftrightarrow (2x+1)^2\geq (2x-1)^2\)

\(\Leftrightarrow 8x\geq 0\) (đúng)

TH2: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1<0\\ 2x+1<0\end{matrix}\right.\Rightarrow x<0\)

\((1)\Leftrightarrow -(2x+1)\sqrt{((x+1)^2+3}< -(2x-1)\sqrt{(2x+1)^2+3}\)

(nhân hai vế với 1 số âm thì phải đổi dấu)

Bây giờ 2 vế đều dương rồi. Bình phương hai vế:

\(\Leftrightarrow (2x+1)^2[(2x-1)^2+3]\geq (2x-1)^2[(2x+1)^2+3]\)

\(\Leftrightarrow 3(2x+1)^2< 3(2x-1)^2\)

\(\Leftrightarrow x< 0\) (đúng)

TH3: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1>0\\ 2x-1<0\end{matrix}\right.\)

Khi đó, vế trái lớn hơn 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên ta có đpcm.

TH4: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1<0\\ 2x-1>0\end{matrix}\right.\) (TH này không thể xảy ra vì \(2x+1> 2x-1\)

TH5: \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow \text{VT}=0; \text{VP}< 0\Rightarrow \text{VT}> \text{VP}\)

TH6: \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow \text{VT}>0; \text{VP}=0\Rightarrow \text{VT}>\text{VP}\)

Ta có đpcm.

bạn cm các biểu thức trong căn > 0 ∀ x là xong =)) 

Vì trong sách nó nói thế nha

Đúng 100%

Đúng 100%

Đúng 100%

@AD dragon Boy

SGK chưa phải lúc nào cũng đúng 

bằng chứng vẫn có phần đinh chính kèm theo

mà 100% bạn chưa đọc cái đinh chính đó

=> 100% câu trả lời của bạn có thể chưa đúng

@thien minh

hd 

đặt hai căn là a, b 

thu gọn\(a=\sqrt{x^2+x+1};b=\sqrt{x^2-x+1}\)

=>a, b>=0

\(\left(a+b\right)\left[1-\left(a-b\right)^2\right]>0\\ \) về cơ bản ròi

\(a,=\dfrac{x+8\sqrt{x}+8-\left(\sqrt{x+2}\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}:\dfrac{x+\sqrt{x}+3+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x+8\sqrt{x}+8-x-4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\sqrt{x}+x+5}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}+x+5}\)

Vậy \(P=\dfrac{4\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}+x+5}\)

Xét \(x< -\frac{1}{2}\)

\(\left(2x+1\right)\sqrt{x^2-x+1}>\left(2x-1\right)\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(-2x-1\right)\sqrt{x^2-x+1}< \left(-2x+1\right)\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)\left(x^2-x+1\right)< \left(4x^2-4x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow6x< 0\)đúng

Xét \(-\frac{1}{2}\le x< \frac{1}{2}\)

Thì VT dương VP âm nên đúng

Xét \(x\ge\frac{1}{2}\)làm tương tự như TH 1