Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức.

Ta có:

Do đó:  (đpcm)

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương  và √b ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b > 0

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

Ta có:  a b < a + c b + c

⇔ a(b + c) < (a + c)b

(vì a > 0, b > 0 và c > 0 ⇔ b + c > 0 và a + c > 0)

⇔ ab + ac < ab + bc

⇔ ac < bc ⇔ a < b (luôn đúng, theo gt)

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Cho xin Zalo với

Áp dụng kết quả bài 5, ta có:  ⇒ ad < bc (1)

Cộng cả hai vế của (1) với ab ta có: ab + ad < ab + bc

hay a(b + d) < b.(a + c)

Cộng cả hai vế của (1) với cd ta có: ad + cd < bc + cd

Hay d(a + c) < c(b + d)

Vậy 

Ta có:  a b < c d ⇒ a d < b c   n ê n  

a b + a d < a b + b c ⇔ a ( b + d ) < b ( a + c ) ⇔ a b < a + c b + d

Mặt khác: 

a d + c d < b c + d c ⇔ d ( a + c ) < c ( b + d ) ⇔ a + c b + d < c d

Từ (1) và  (2):  a b < a + c b + d < c d

-C/m bằng phép biến đổi tương đương:

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}{abc}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-2bc+c^2\right)+b^2\left(c^2-2ca+a^2\right)+c^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(b-c\right)^2+b^2\left(c-a\right)^2+c^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

+TH1: có 1 số < 0 là a, 2 số lớn hơn 0 là b,c
=> bc > 0 mà a < 0
=> abc < 0 (trái giả thiết) => không tồn tại trường hợp này.

+TH2: 2 số <0 là b,c ; 1 số lớn hơn 0 là a.
=> bc > 0; b+c < 0; a > 0
a+b+c > 0 => a > -(b+c) > 0 => a.(b+c) < -(b+c).(b+c) (nhân cả 2 vế với 1 số < 0 là (b+c) nên đổi chiều)
=> ab+bc+ca=a(b+c) + bc < -(b+c)² + bc = -(b²+c²+bc) < 0 (do b²,c²,bc > 0) => trái giả thiết => không tồn tại trường hợp này.

+TH3: a,b,c < 0
=>abc < 0 => trái giả thiết => không tồn tại trường hợp này.

Vậy: a,b,c > 0

sao th2 k suy ra ab>0 và c<0 nên abc<0 luôn