Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn. Viết đề như trên khó theo dõi quá.

Đặt: \(3x+2=a\)

\(y-4=b\)

Ta thấy: Để x nguyên thì \(a-2\) phải chia hết cho 3.

Những số nhỏ hơn 10 chia hết cho 3 là: \(3;6;9\)

Vậy \(a\in\left\{5;-1;-4;-7;8;11\right\}\) mà \(11>10\Rightarrow a\in\left\{5;8;-1;-4;-7\right\}\)

Xét  \(a=5\Rightarrow3x=3\Rightarrow x=1\)

\(\Rightarrow b=5\Rightarrow y=9\) 

\(b=-5\Rightarrow y=-1\)

Xét \(a=8\Rightarrow3x=6\Rightarrow x=2\)

\(\Rightarrow b=2\Rightarrow y=6\) 

\(b=-2\Rightarrow y=2\)

Xét \(a=-1\Rightarrow3x=-3\Rightarrow x=-1\)

\(\Rightarrow b=9\Rightarrow y=13\)

\(b=-9\Rightarrow y=-5\)

Xét \(a=-4\Rightarrow3x=-6\Rightarrow x=-2\)

\(\Rightarrow b=8\Rightarrow y=12\)

\(b=-8\Rightarrow y=-4\)

Xét \(a=-7\Rightarrow3x=-9\Rightarrow x=-3\)

\(\Rightarrow b=3\Rightarrow y=7\)

\(b=-3\Rightarrow y=1\)

Kết luận: ......

Ta thấy [TEX]y \geq 1[/TEX].
+ Nếu [TEX]y=1[/TEX] thì ta có [TEX]3^x=2^z-1[/TEX].
Xét tính chia hết cho 3 dễ thấy [TEX]z \vdots 2[/TEX]. Đặt [TEX]z=2k (k \in \mathbb{N}^*)[/TEX]
Ta có: [TEX]3^x=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)[/TEX]
Đặt [TEX]2^k-1=3^m, 2^k+1=3^n (m,n \in \mathbb{N}^*; m+n=z) [/TEX]
Ta có: [TEX]3^n-3^m=2 \Rightarrow n=1, m=1 \Rightarrow z=2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z=1[/TEX]. Từ đó ta có bộ [TEX](x,y,z)=(1,1,2)[/TEX]
+ Nếu [TEX]y \geq 2[/TEX] thì ta có [TEX]2^z-2^y=3^x-1 > 0 \Rightarrow z >y[/TEX]
Lại có: [TEX]z>y \geq 2 \Rightarrow 3^x-1 \vdots 4 \Rightarrow x \vdots 2[/TEX]
Khi đó nếu [TEX]y \geq 4[/TEX] thì [TEX]3^x-1 \vdots 16 \Rightarrow x \vdots 4[/TEX]
[TEX]x=4q\Rightarrow 2^z-2^y=81^q-1\equiv 0(\text{mod 5})\Rightarrow 2^z-2^y\vdots 5\Rightarrow 2^y(2^{z-y}-1)\vdots 5[/TEX]
Từ đó [TEX]2^{z-y}-1 \vdots 5 \Rightarrow z-y=4k+2 \Rightarrow z-y \vdots 2 \Rightarrow 2^{z-y}-1 \vdots 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3^x-1 \vdots 3[/TEX](mâu thuẫn)
Suy ra [TEX]2 \leq y \leq 3[/TEX].
Nếu [TEX]y=2[/TEX] thì [TEX]3^x+3 =2^z \vdots 3[/TEX](mâu thuẫn)
Nếu [TEX]y=3[/TEX] thì [TEX]3^x+7=2^z[/TEX]. Xét đồng dư với 3 nên [TEX]z \vdots 2[/TEX].
Đặt [TEX]x=2m,z=2n \Rightarrow 2^{2n}-3^{2m}=7 \Rightarrow (2^n-3^m)(2^n+3^m)=7[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^n-3^m=1,2^n+3^m=7 \Rightarrow n=2,m=1 \Rightarrow x=2,z=4[/TEX]
Vậy [TEX](x,y,z)=(1,1,2)[/TEX] hoặc [TEX](x,y,z)=(2,3,4)[/TEX]

 mình làm thế này các bạn xem có đúng ko. nếu đúng thì k nhé

=> x² + 2xy + y² = x²y² + xy

<=> (x+y)² = (xy + 1/2$$)² - 1/4$$

<=> (2x+2y)² = (2xy + 1)² - 1

<=> (2xy + 1)² - (2x+ 2y)² = 1

<=> (2xy + 1+ 2x+2y).(2xy + 1 - 2x- 2y) = 1 = 1.1 = (-1).(-1)

x; y nguyên nên ta có 2 trường hợp:

TH1: 2xy + 2x+ 2y + 1 = 1 và 2xy - 2x - 2y + 1 = 1

=> xy + x + y = 0 và 2xy + 2x+ 2y + 1 + 2xy - 2x - 2y + 1 = 2

=> xy + x + y = 0 và xy = 0

=> x + y = 0 và xy = 0 => x = y = 0

Th2: tương tự

x² + xy + y² = x².y²

=> x² + 2xy + y² = ( x. y )² + xy

=> ( x + y )² = xy .( xy + 1 )

=> xy . ( xy + 1 ) là số chính phương

mà ( xy,xy + 1 ) = 1 , xy < xy + 1 

=> xy = xy + 1 => vô lí

hoặc xy = 0 => xy . ( xy + 1 ) = 0 = 0 ² => x + y = 0= x y  => x = y = 0

Vậy x = 0 ; y = 0

mọi người thiên vị quá

Vì \(\left|x+4\right|\ge0;\left|y-3\right|\ge0\)

   mà |x+4| + |y-3| =3 và |x+4| ; |y-3| thuộc Z

\(\Rightarrow\left(\left|x+4\right|;\left|y-3\right|\right)\in\left\{\left(0;3\right)\left(1;2\right)\left(3;0\right)\left(2;1\right)\right\}\)

Tương ứng \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-4;6\right);\left(-3;5\right);\left(-1;3\right);\left(-2;4\right)\right\}\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-4;6\right);\left(-3;5\right);\left(-1;3\right);\left(-2;4\right)\right\}\)