Nhận xét : số chính phương chia 5 dư 0;1;4

Đặt A = n.(n^2+1).(n^2+4)

Nếu n^2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5 (vì 5 nguyên tố) => A chia hết cho 5

Nếu n^2 chia 5 dư 1 => n^2+4 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

Nếu n^2 chia 5 dư 4 => n^2+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

=> đpcm

k mk nha

(n^2+1).(n^2+4)

=n^2.(1+4)

=n^2.5

Vì5 chia hết cho 5 nên n^2.5 chia hết cho 5

Hay(n^2+1).(n^2+4) chia hết cho 5(đpcm)

thank you very much

Ta có: n + 10 = n + 2 + 8

Mà n + 2 \(⋮\)n + 2

=> 8 \(⋮\)n + 2 => n + 2 \(\in\)Ư(8) = {-1;1;-2;2;-4;4;-8;8}

Sau đó thay vào n + 2 thì tìm được n (làm nháp)

=> n + 10 \(⋮\)n + 2

Mình nghĩ cách giải bài này tương tự bài tìm n để n + 10 \(⋮\)n + 2

Có n + 2 chia hết cho n + 2

Để n + 10 chia hết cho n + 2 => [ ( n + 10 ) - ( n + 2 ) ] chia hết cho n + 2 => 8 chia hết cho n + 2

=> n + 2 thuộc { 1 ; 2; 4 ; 8 }

Lập bảng :

Mk tìm n luôn nhá : n thuộc { 0 ; 2 ; 6 }

Còn nếu chứng minh thì bỏ bước lập bảng là xong ! Duyệt nha bạn ! Cảm ơn !

10 chia hết cho 2 n với n bằng nhau triệt tiêu đi

       \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Ta thấy:    \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 5 số nguyên liên tiếp   ( do n thuộc N )   nên chia hết cho  5

                \(5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)chia hết cho  5

\(\Rightarrow\)\(n^5-n\) chia hết cho 5   (1)

    \(n^5-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) chia hết cho 2,  cho 3

mà   \(\left(2;3\right)=1\) nên   \(n^5-n\)chia hết cho 6   (2)

Do  \(\left(5;6\right)=1\) nên từ (1) và (2)  suy ra:   \(n^5-n\)chia hết cho 30

\(n^3+2n+2016=\)

Mấy bạn làm hộ mình nha , bài khó quá không biết làm thế nào nữa.Xin trân thành cảm ơn nếu các bạn làm chi tiết.

Cho A=n⁵-n

A = n⁵ - n
= n.(n⁴ - 1)
= n.(n² + 1)(n² - 1)
= n.(n² + 1)(n - 1)(n + 1) (chia hết cho 6, vì chia hết cho 2, 3) (1)
= n.(n² - 4 + 5)(n - 1)(n + 1)
= n[(n-2)(n+2)+5](n - 1)(n + 1)
= [n(n-2)(n+2)+5n](n - 1)(n + 1)
= n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1)
{n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
{5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> A chia hết cho 5 (2)
(1)(2)=> A chia hết cho 30 do (5,6)=1

hình như câu 2 Nguyễn Hoài Linh copy

Đây là toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau: 

                             Giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử A ⋮ 121 ∀ n khi đó ta có với n = k( k \(\in\)n) thì: 

A = k² + 3k + 5 ⋮ 121 (luôn đúng \(\forall\) k \(\in\) N)

Với n = k + 1 thì

A = (k + 1)² + 3(k + 1) + 5 ⋮ 121 (luôn đúng \(\forall\) k \(\in\) N) 

⇒ (k + 1).(k + 1) + 3k + 3 + 5⋮ 121

⇒ k² + k + k + 1 + 3k + 3 + 5 ⋮ 121

⇒ (k² + 3k + 5) + (k + k) + (1 + 3)⋮ 121

⇒ (k² + 3k + 5) + 2k + 4 ⋮ 121

⇒ 2k + 4 ⋮ 121

⇒ 2.(k + 2) ⋮ 121

⇒ k + 2 ⋮ 121 (1)

Mà ta có: k² + 3k + 5 ⋮ 121

               ⇒ k(k + 2) + (k + 2) + 3 ⋮ 121

              ⇒ (k + 2)(k + 1) + 3 ⋮ 121 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: 3 ⋮ 121 (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai hay 

A = n² + 3n + 5 không chia hết cho 121 với mọi n (đpcm)

Nhận xét : số chính phương chia 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

Nếu n^2 chia hết cho 5 => n chia hết cho 5 ( vì 5 là số nguyên tố )

=> n.(n^2+1).(n^2+4) chia hết cho 5

Nếu n^2 chia 5 dư 1 => n^2+4 chia hết cho 5 

=> n.(n^2+1).(n^2+4) chia hết cho 5

Nếu n^2 chia 5 dư 4 => n^2+1 chia hết cho 5

=> n.(n^2+1).(n^2+4) chia hết cho 5

Vậy n.(n^2+1).(n^2+4) chia hết cho 5

k mk nha