Vì \(\left(n,6\right)=1\Rightarrow n⋮̸̸6\Rightarrow n⋮̸2,⋮̸3̸\)

+)   Vì n không chia hết cho 2 

=> n lẻ => n=2k+1 ( k thuộc Z); 

=> n^2-1 = (2k+1)^2-1= (2k)(2k+2)=4k(k+1) ;

+)    Vì k , k+1 là 2 số nguyên liên tiếp => k(k+1) chia hết cho 2

=> n^2-1 chia hết cho 8 (1)  ( hay cm đc 1 số chính phương lẻ chia 8 dư 1) 

+)    Xét 3 số nguyên liên tiếp n-1,n,n+1 có 1 số chia hết cho 3 mà n không chia hết cho 3

=> n-1 hoặc n+1 chia hết cho 3=> n^2-1 chia hết cho 3 (2) 

+)     Mặt khác (8,3)=1  kết hợp (1),(2)

=> n^2-1 chia hết cho 8.3 hay chia hết cho 24

n và 6 NTCN => n không chia hết cho 2 và 3

+ Nếu n = 3k+1 (k thuộc N) => n² -1= (3k+1)²= 9k²+1+6k-1=9k²+6k chia hết cho 3

+ Nếu n = 3k+2 => n² -1= (3k+2)²= 9k²+4+12k-1=9k²+12k + 3 chia hết cho 3

Vậy n² - 1 chia hết cho 3 (1)

n không chia hết cho 2 => n có dạng 2m + 1 (m chẵn, m thuộc N)

=> n²-1 = (2m+1)²-1 = 4m²+1 - 1 = 4m²

Mà m chẵn nên 4m² chia hết cho 8 (2)

Và (3;8) = 1 (3)

(1), (2), (3) => đpcm

Vì (n,6) = 1 => n không chia hết cho 2 và 3

n không chia hết cho 2 nên n phải là số lẻ, n không chia hết cho 3 nên n chỉ có thể dưới dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

+) Nếu n = 3k + 1 thì k phải là số chẵn. Đặt k = 2j Ta có: n = 3 x 2j + 1 = 6j + 1

Khi đó n² - 1 = ( 6j + 1 )² - 1 = 36j² + 12j = 12j( 3j + 1 )

TH1: Nếu j chẵn => j = 2t => n² - 1 = 12 x 2t ( 6t + 1 ) = 24t ( 6t + 1 ) chia hết cho 24

TH2: Nếu j lẻ, j = 2t + 1 => n² - 1 = 12 ( 2t + 1 ) ( 6t + 4 ) = 24 ( 2t + 1 ) ( 3t + 2 ) chia hết cho 24

Vậy n² - 1 chia hết cho 24

+) Nếu n là 3k + 2 thì n là số lẻ. Đặt k = 2j + 1 => n = 3 ( 2j + 1 ) + 2 = 6j + 5

n² - 1 = ( 6j + 5 )² - 1 = 36j² + 60j + 24 = 12j ( 3j + 5 ) + 24

TH1: Nếu j chẵn => j = 2t => n² - 1 = 12 x 2t ( 6t + 5 ) = 24t ( 6t + 5 ) chia hết cho 24

TH2: Nếu j lẻ => j = 2t + 1 => n² - 1 = 12 ( 2t + 1 ) ( 6t + 8 ) = 24 ( 2t + 1 ) ( 3t + 4 ) chia hết cho 24

Vậy n² - 1 chia hết cho 24

a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.

câu b là n^2 + n + 6 không chia hết cho 4

Chắc vậy

Akai Haruma