Lời giải:

Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$B=|x-\frac{1}{3}|+|x-\frac{5}{3}|=|x-\frac{1}{3}|+|\frac{5}{3}-x|$

$\geq |x-\frac{1}{3}+\frac{5}{3}-x|=\frac{4}{3}$
Vậy GTNN của $B$ là $\frac{4}{3}$. Giá trị này đạt tại $(x-\frac{1}{3})(\frac{5}{3}-x)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq x\leq \frac{5}{3}$

`1. P = x/(sqrt x-1)`

`= (x-1+1)/(sqrtx-1)`

`= ((sqrt x+1)(sqrt x-1))/(sqrt x-1) +1/(sqrt x-1)`

`= sqrt x+1 + 1/(sqrt x-1)`

`= sqrtx-1 + 1/(sqrt x-1) + 2 >= 4`.

ĐTXR `<=> (sqrtx-1)^2 = 1`.

`<=> x =4` hoặc `x = 0 ( ktm)`.

Vậy Min A `= 4 <=> x= 4`.

1) \(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{(x-\sqrt{x})+(\sqrt{x}-1)+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+1\)

\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\)

Với x>1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1>0\\\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}>0\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương \(\sqrt{x}-1\) và \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\), ta có:

\(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}}=2\)

\(\Rightarrow P\ge2+2=4\)

Dấu = xảy ra khi: \(\sqrt{x}-1=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

KL;....

2:

\(B=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\sqrt{x}-3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}-6\)

=>\(B>=2\cdot\sqrt{25}-6=4\)

Dấu = xảy ra khi (căn x+3)^2=25

=>căn x+3=5

=>căn x=2

=>x=4

\(\sqrt{\left(2x^2-x-1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}=3\)

min B =3 \(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{-1}{2}\end{cases}}\)

Bn có thể lm cho mk đoạn đk xác định k?

a: =>x^2+10xy+25y^2+y^2-14y+49=0

=>(x+5y)^2+(y-7)^2=0

=>y-7=0 và x+5y=0

=>y=7 và x=-5y=-35

b: A=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)+2044

=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)+2044

=(x^2+5x)^2-36+2044

=(x^2+5x)^2+2008>=2008

Dấu = xảy ra khi x=0 hoặc x=-5

Lời giải:
\(A=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y^4+y(x+y)^3}}\)

Xét:

\(x^4+8xy^3-(x^2+2y^2)^2=8xy^3-4y^4-4x^2y^2\)

\(=-4y^2(x^2-2xy+y^2)=-4y^2(x-y)^2\leq 0\)

\(\Rightarrow x^4+8xy^3\leq (x^2+2y^2)^2\)

\(\Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}\geq \frac{x^2}{x^2+2y^2}(*)\)

Mặt khác:
\(y^4+y(x+y)^3-(x^2+2y^2)^2=x^3y+3xy^3-2y^4-x^4-x^2y^2\)

\(=x^3(y-x)+3y^3(x-y)+y^4-x^2y^2\)

\(=x^3(y-x)+3y^3(x-y)+y^2(y-x)(y+x)\)

\(=(y-x)(x^3-2y^3+xy^2)\)

\(=(y-x)[(x-y)(x^2+xy+y^2)+y^2(x-y)]\)

\(=-(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)\leq 0\)

\(\Rightarrow y^4+y(x+y)^3\leq (x^2+2y^2)^2\Rightarrow \frac{2y^2}{\sqrt{y^4+y(x+y)^3}}\geq \frac{2y^2}{x^2+2y^2}(**)\)

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\geq 1$

\(A=6x-x^2+5=-\left(x^2-6x-5\right)\)

\(=-\left(x^2-6x+9-14\right)=-\left[\left(x-3\right)^2-14\right]\)

\(=-\left[\left(x-3\right)^2\right]+14\le14\)

Vậy \(A_{max}=14\Leftrightarrow x=3\)

Vì | x -3 | > hoặc = 0

Suy ra : |x-3|+50 >hoặc =50

Vì A nhỏ nhất suy ra | x-3 | +50 =50

Suy ra x-3 =0

Suy ra x=3

Vậy GTNN của A = 50 khi x=3