\(f\left(x\right)=3x^2+\frac{8}{x}=3x^2+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}\ge3\sqrt[3]{3x^2.\frac{4}{x}.\frac{4}{x}}=6\sqrt[3]{6}\)

Dấu \(=\)khi \(3x^2=\frac{4}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{4}{3}}\).

:V

Câu đầu cho x > 0 thì dễ hơn ...... 

Sử dụng BĐT AM - GM ta dễ có:\(D=\sqrt{x}+\frac{9}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\frac{9}{\sqrt{x}+2}}-2=4\)

Đẳng thức xảy ra tại x=1

\(E=\frac{x+1}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2\) Đẳng thức xảy ra tại x=1

Làm 2 cái thôi còn lại tương tự bạn nhé :) 

+ Ta có: \(D=\sqrt{x}+\frac{9}{\sqrt{x}+2}\)

       \(D=\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}-2\)

   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho phương trình \(\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}\) ta có: 

         \(\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right).\left(\frac{9}{\sqrt{x}+2}\right)}=\sqrt{9}=3\)

         \(\Rightarrow\)\(D\ge3-2=1\)

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt{x+2}=\frac{9}{\sqrt{x}+2}\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+2\right)^2=9\)

                                               \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2=\pm3\)

                                               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+2=-3\\\sqrt{x}+2=3\end{cases}}\)

                                               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=-5\left(L\right)\\\sqrt{x}=1\end{cases}}\)

                                               \(\Leftrightarrow x=\pm1\)

 Vậy \(S=\left\{\pm1\right\}\)

1/ Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=a\\\sqrt{x-2014}=b\end{cases}}\)

Thì ta có:

\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2014}}{x}=\frac{a}{a^2+2015}+\frac{b}{b^2+2014}\)

\(\le\frac{a}{2a\sqrt{2015}}+\frac{b}{2b\sqrt{2014}}=\frac{1}{2\sqrt{2015}}+\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)

2/ \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

\(=\frac{3}{4}\)

Hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[\frac{1}{2};2\right]\)

+)\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\notin\left[\frac{1}{2};2\right]\)hoặc \(x=-2\notin\left[\frac{1}{2};2\right]\)

+) \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{6};f\left(2\right)=\frac{7}{3}\)

Vậy \(minf\left(x\right)_{x\in\left[\frac{1}{2};2\right]}=\frac{7}{6}\) khi \(x=\frac{1}{2}\)

       \(maxf\left(x\right)_{x\in\left[\frac{1}{2};2\right]}=\frac{7}{3}\) khi \(x=2\)

tự lm nhóe

Tự tìm ĐKXĐ nhé

\(P=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5}{x-\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{5}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3-5+x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\)

c, \(P=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2+2}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)

Để \(P\in Z\Rightarrow1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2;-1;-2\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left\{-1;0\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{0\right\}\)

Kết hợp với ĐKXĐ =>...

Vì 1-x-2x^2>=0>>>2x^2-x-1<=0>>>-1<=x<=1/2

F(x)=1/2(x+2√(1-2x)(x+1)<=1/2(x+1-2x+x+1)(BĐT Cô-si)

<=1/2.2=1.

Dấu= xảy ra khi 1-2x=x+1 khi x=0(TM)