Đặt A=1/2.5+1/5.8+...+1/(3n-1)(3n+2)

3A=3/2.5+3/5.8+....+3/(3n-1)(3n+2)

3A=1/2-1/5+1/5-1/8+....+1/3n-1-1/3n+2

3A=1/2-1/3n+2

3A=3n/6n+4

A=(3n/6n+4) /3

A=n/6n+4(đpcm)

\(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+...+\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

\(=\frac{1}{3}.\left(\frac{3}{2.5}+\frac{3}{5.8}+...+\frac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\)

\(=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)\)

\(=\frac{1}{3}.\frac{3n}{2.\left(3n+2\right)}\)

\(=\frac{n}{2\left(3n+2\right)}\)

hoc cm quy nap chua Kq=n^2(n+1)

day la cach cm 

1.2 + 2.5 +...+ n(3n-1) = n^2(n+1) ̣́(*) 

n = 1=> 2 = 2 đúng. 
giả sử (*) đúng với n = k, ta có: 
1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1) = k^2(k+1) (1) 
ta cm (*) đúng với n = k + 1, thật vậy: 
(1) => 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = k^2(k+1) + (k + 1)[3(k + 1) - 1] 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)[k^2 + 3k +2) 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)(k^2 + k + 2k +2 ) 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)[k(k + 1) +2(k +1)] 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)^2(k + 2) 
vậy (*) đúng với n = k +1 , theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n

Ta có : a.(3a-1)=3a^2-a                                                                                                                                                                  Cho a lần lượt bằng 1;2;3;4;....;n ta được :                                                                                                                                      1.2=3.1^2-1                                                                                                                                                                                  2.5=3.2^2-2                                                                                                                                                                                   ................                                                                                                                                                                                  n.(3n-1)=3n^2-n                                                                                                                                                                         Cộng vế theo vế các đẳng thức ta được:  1.2+2.5+3.8+......+n.(3n-1)=3.(1^2+2^2+....+n^2)-(1+2+3+.....+n)                                                                                                                                       =3.[n.(n+1).(n+2)/6]-n.(n+1)/2                                                                                                                                                   = n^2.(n+1)

Đặt A=1/2.5+1/5.8+...+1/(3n-1).(3n+2)

=>3A=3/2.5+3/5.8+...+3/(3n-1).(3n+2)

=>3A=1/2-1/5+1/5-1/8+...+1/3n-1-1/3n+2

=>3A=1/2-1/3n+2

=>3A=(3n+2-2)/[2.(3n+2)]

=>3A=3n/6n+4

=>A=3n/6n+4/3

=>A=n/6n+4

210

210

Đặt \(A=\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+......+\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

\(=>3A=\frac{3}{2.5}+\frac{3}{5.8}+\frac{3}{8.11}+....+\frac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

=> \(3A=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+....+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\)

=>\(3A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\)

=> \(3A=\frac{\left(3n+2\right):2}{3n+2}-\frac{1}{3n+2}\)

=> \(3A=\frac{1,5.n}{3n+2}\)

=>\(A=\frac{1,5.n}{3n+2}.\frac{1}{3}=>A=\frac{1,5.n}{\left(3n+2\right).3}=\frac{1,5.n}{9n+6}\)

\(Hay\) \(A=\frac{1,5n:1,5}{\left(9n+6\right):1,5}=\frac{n}{9n:1,5+6:1,5}=\frac{n}{6n + 4} \left(đpcm\right)\)