Đại số & Giải tích 11

Cách 1 là quy đồng sau đó L'Hopital khoảng 2-3 lần gì đó là hết dạng vô định (đoán thế vì dạng vô định đa thức này nếu quy đồng sẽ luôn dùng L'Hopital giết được, vấn đề chỉ là L'Hopital bao nhiêu lần)

Cách 2:

Đặt \(y=\dfrac{1}{x}\), khi đó:

\(I=\lim\limits_{y\rightarrow1}\left(\dfrac{n}{1-\dfrac{1}{y^n}}-\dfrac{m}{1-\dfrac{1}{y^m}}\right)=\lim\limits_{y\rightarrow1}\left(\dfrac{n.y^n}{y^n-1}-\dfrac{m.y^m}{y^m-1}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{n.x^n}{x^n-1}-\dfrac{m.x^m}{x^m-1}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{n\left(x^n-1+1\right)}{x^n-1}-\dfrac{m\left(x^m-1+1\right)}{x^m-1}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(n+\dfrac{n}{x^n-1}-m-\dfrac{m}{x^m-1}\right)\)

\(=n-m-\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{n}{1-x^n}-\dfrac{m}{1-x^m}\right)=n-m-I\)

Hay \(I=n-m-I\Rightarrow2I=n-m\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{n-m}{2}\)

`Loại 1: chọn tùy ý 7 cuôn từ 19 cuốn C⁷₁₉ = 50388 cách

Loại 2: chọn 7 cuốn từ 2 môn

TH1: hóa +lí : C⁷₁₁ = 330

TH2: lí+ toán: C⁷₁₄ = 3432

TH3: hóa+ toán: C⁷₁₃ = 1716

tổng = 5478

ta có: loại 1 - loại 2 = 50388-5478=44910( cách)

Điều kiện: cosx \(\ne\) 0; sin x \(\ne\) 0

pt <=> \(\frac{5}{tanx}-2tanx-3=0\Leftrightarrow5-2tan^2x-3tanx=0\Leftrightarrow\left(tanx-1\right)\left(-2tanx-5\right)=0\)

<=> tanx = 1 (Thoản mãn ) hoặc tan x= \(\frac{-5}{2}\) (Thỏa mãn)

+) tanx = 1 <=> x = \(\frac{\pi}{4}+k\pi\)

+) tan x = \(\frac{-5}{2}\) <=> x = arctan \(\frac{-5}{2}\) + \(k\pi\)

Vậy pt đã cho có nghiệm là: x = \(\frac{\pi}{4}+k\pi\);  x = arctan \(\frac{-5}{2}\) + \(k\pi\)

a) <=> \(\frac{4^x}{5^{x^2}}=1\) <=> \(4^x=5^{x^2}\Leftrightarrow log4^x=log5^{x^2}\) <=> x.log4 = x².log5 <=> x². log 5 - x log4 = 0 <=> x. (x.log5 - log 4) = 0 

<=> x = 0 hoặc x.log5 - log 4 = 0 

x.log5 - log 4 = 0 <=> x = log4/log5 = \(log_54\)

b) \(\frac{5.2^{\frac{x}{2}}.3^{\frac{x}{2}}}{3^x}-\frac{4.3^x}{3^x}+\frac{9.2^x}{3^x}=0\)

<=> \(5.\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{x}{2}}-4+9.\left(\frac{2}{3}\right)^x=0\)

Đặt \(t=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{x}{2}}\) ( t > 0) . Phương trình trở thành: 9t² + 5t - 4 = 0 <=> t = -1 (Loại) hoặc t = 4/9 ( Thỏa mãn)

t = 4/9 => \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{x}{2}}=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2\) <=> x/2 = 2 <=> x = 4

c) <=> \(\frac{3.8^x}{8^x}+\frac{4.12^x}{8^x}=\frac{18^x}{8^x}+\frac{2.27^x}{8^x}\)

<=> \(3+4.\left(\frac{3}{2}\right)^x=\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}+2.\left(\frac{3}{2}\right)^{3x}\)

Đặt \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^x\) (  t > 0) . Phương trình trở thành: 3 + 4t = t² + 2t³

<=> 2t³  + t²  - 4t - 3 = 0 <=> (t +1)². ( t - 3/2) = 0 <=> t = -1 ( Loại) hoặc t = 3/2 ( Thỏa mãn)

t = 3/2 => \(\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{3}{2}\) <=> x = 1

Điều kiện : sinx \(\ge\) 0 

PT <=> 1 - cosx = sin²x <=> 1 - cosx = 1 - cos²x <=> (1 - cosx) - (1 - cos x).(1 + cosx) = 0

<=> (1 - cosx). cosx = 0 <=> cos x =1 hoặc cosx = 0 

+) cosx = 0 <=> x = \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) ; x \(\in\left[\pi;3\pi\right]\) =>  \(\pi\le\frac{\pi}{2}+k\pi\le3\pi\) <=> 1 \(\le\) 1/2 +  k \(\le\) 3 <=> 1/2 \(\le\) k \(\le\) 2,5 ; k nguyên nên k = 1;2

=> x = \(\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\) đối chiếu đk sinx \(\ge\) 0 => x = \(\frac{5\pi}{2}\)

+) cosx = 1 <=> x = \(k2\pi\) ; x \(\in\left[\pi;3\pi\right]\)  => x = \(2\pi\) (T/m đk sinx\(\ge\) 0) 

Vậy PT có nghiệm là x = \(\frac{5\pi}{2}\); x = \(2\pi\)

\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)=n^2\left(n+1\right)\left(1\right)\)

Khi n=1 thì ta có: \(1\cdot2=1^2\left(1+1\right)\)(đúng)

Khi n>1 thì k=n+1

Giả sử như (1) đúng với k=n, ta cần chứng minh nó cũng đúng với k=n+1, tức là ta sẽ cần chứng minh: 

\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+3-1\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+1+1\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+2\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)\)

=>\(n^3+n^2+3n^2+2n+3n+2=\left(n^2+2n+1\right)\left(n+2\right)\)

=>\(n^3+4n^2+5n+2=n^3+2n^2+2n^2+4n+n+2\)

=>\(0n=0\)(đúng)

Vậy: (1) luôn đúng với mọi \(n\in Z^+\)