\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\Leftrightarrow\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\)

\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\)

Suy ra đpcm. 

Vì 5(y+z)=3(z+x) =>(x+z)/5=(y+z)/3=(x+z-y-z)/(5-3) = (x-y)/2 (áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau) 
Do đó (x+z)/5 = (x-y)/2 ↔ (x+z)/10=(x-y)/4 (1) 
Ta lại có: 2(x+y)=3(z+x) => (x+z)/2=(x+y)/3=(x+z-x-y)/(2-3)=y-z (áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau) 
Do đó (x+z)/2 = y-z ↔ (x+z)/10=(y-z)/5 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (x-y)/4=(y-z)/5

Vì 5(y+z)=3(z+x) =>(x+z)/5=(y+z)/3=(x+z-y-z)/(5-3) = (x-y)/2 (áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau) 
Do đó (x+z)/5 = (x-y)/2 ↔ (x+z)/10=(x-y)/4 (1) 
Ta lại có: 2(x+y)=3(z+x) => (x+z)/2=(x+y)/3=(x+z-x-y)/(2-3)=y-z (áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau) 
Do đó (x+z)/2 = y-z ↔ (x+z)/10=(y-z)/5 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (x-y)/4=(y-z)/5

Vì 5(y+z) = 3(x+z)

Suy ra (x+z) / 5 = (y+z) / 3 = (x+z-y-z) / 5-3 = (x-y) / 2

Suy ra (x+z) / 5 = (x-y) / 2 tương đương (x+z) / 10 = (x-y) / 4                               (1)

2(x+y) = 3(x+z)

Suy ra (x+z) / 2 = (x+y) / 3 = (x+z-x-y) / 2-3 = y-z

(x+z) / 2 = y-z

Tương đương (x+z) / 10 = (y-z) / 5                                                                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Đừng ai giải bài này nha, vì nó có trong đề của cuộc thi bên h của mình. Các bạn thông cảm

  2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x) 
<=> 
(x+y)/(1/2) = (y+z)/(1/5) = (z+x)/(1/3) = (x+y-z-x)/(1/2-1/3) = (z+x-y-z)/(1/3-1/5) 

=> (y-z)/(1/2-1/3) = (x-y)/(1/3-1/5) => (y-z)/(1/6) = (x-y)/(2/15) 

=> 6(y-z) = 15(x-y)/2 <=> 2(y-z) = 5(x-y)/2 <=> (y-z)/5 = (x-y)/4 đpcm