\(\frac{x+6}{x+2}=1+\frac{4}{x+2}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{4}{x+2}\in Z\)

=>4 chia hết cho x+2

=>x+2=-4;-2;-1;1;2;4

=>x=-6;-4;-3;-1;0;2

\(A=\frac{11}{\sqrt{x}-5}\) nguyên <=> 11 chia hết cho \(\sqrt{x}-5\)

<=>\(\sqrt{x}-5\inƯ\left(11\right)\)

<=>\(\sqrt{x}-5\in\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

<=>\(\sqrt{x}\in\left\{-6;4;6;16\right\}\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\)<=>\(\sqrt{x}\in\left\{4;6;16\right\}\)

<=>\(x\in\left\{16;36;256\right\}\)

Để B \(\in\)Z

=> \(x+1⋮x+5\)

=> \(x+5-4⋮x+5\)

Ta có : Vì \(x+5⋮x+5\)

=> \(-4⋮x+5\)

=> \(x+5\in-4\)

=> \(x+5\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

Lập bảng xét 6 trường hợp

Vậy \(B\inℤ\Leftrightarrow x\in\left\{-4;-6;-3;-7;-1;-9\right\}\)

\(B=\frac{x+1}{x+5}=\frac{x+5-4}{x+5}=1-\frac{4}{x+5}.\)

Để \(B\in Z\Leftrightarrow\frac{4}{x+5}\in Z\)\(\Rightarrow4\)\(⋮\)\(x+5\)

\(\Rightarrow x+5\inƯ_4\)Mà \(Ư_4=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

TH1 : \(x+5=1\Rightarrow x=-4\)

Th2 : \(x+5=-1\Rightarrow x=-6\)

TH3 : \(x+5=2\Rightarrow x=-3\)

TH4 : \(x+5=-2\Rightarrow x=-7\)

TH5 : \(x+5=4\Rightarrow x=-1\)

TH6 : \(x+5=-4\Rightarrow x=-9\)

\(KL:x\in\left\{-4;-6;-3;-7;-1;-9\right\}\)

Để B \(\in Z\)

\(x+1⋮x+5\)\(\Leftrightarrow x+5-4⋮x+5\)

Vì 

\(x+5⋮x+5\)

\(\Rightarrow-4⋮x+5\)

\(\Rightarrow x\in\left(-4\right)=\left\{\mp1;\mp2;\mp4\right\}\)

Ta có bảng 

Vậy x = -4;-6;-7;-3;-9;-1

a)     \(ĐKXĐ:x\ne-3;x\ne2\)

b)     \(P=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}-\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}\)

\(P=\frac{x^2-4-5-x-3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

\(P=\frac{x^2-x-12}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

\(P=\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

vậy \(P=\frac{x-4}{x-2}\)

\(P=\frac{-3}{4}\) \(\Leftrightarrow\frac{x-4}{x-2}=\frac{-3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-4\right)=-3.\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow4x-16=-3x+6\)

\(\Leftrightarrow7x=22\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{22}{7}\)

c) \(P\in Z\Leftrightarrow\frac{x-4}{x-2}\in Z\)

\(\frac{x-2-6}{x-2}=1-\frac{6}{x-2}\in Z\)

mà \(1\in Z\Rightarrow\left(x-2\right)\inƯ\left(6\right)\in\left(\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right)\)

mà theo ĐKXĐ:  \(\Rightarrow\in\left(\pm1;-2;3;\pm6\right)\)

thay mấy cái kia vào rồi tìm \(x\)

d) \(x^2-9=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3\)

khi \(x=3\Rightarrow P=\frac{3-4}{3-2}=-1\)

khi \(x=-3\Rightarrow P=\frac{-3-4}{-3-2}=\frac{-7}{-5}=\frac{7}{5}\)

Bài 5:

\(C=\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{2(\sqrt{x}-2)+1}{\sqrt{x}-2}=2+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Để $C$ nguyên nhỏ nhất thì $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ là số nguyên nhỏ nhất.

$\Rightarrow \sqrt{x}-2$ là ước nguyên âm lớn nhất

$\Rightarrow \sqrt{x}-2=-1$

$\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn đkxđ)

Bài 6:

$D(\sqrt{x}+1)=x-3$

$D^2(x+2\sqrt{x}+1)=(x-3)^2$

$2D^2\sqrt{x}=(x-3)^2-D^2(x+1)$ nguyên 

Với $x$ nguyên ta suy ra $\Rightarrow D=0$ hoặc $\sqrt{x}$ nguyên 

Với $D=0\Leftrightarrow x=3$ (tm)

Với $\sqrt{x}$ nguyên:

$D=\frac{(x-1)-2}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}$

$D$ nguyên khi $\sqrt{x}+1$ là ước của $2$

$\Rightarrow \sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}$

$\Leftrightarrow x=0; 1$

Vì $x\neq 1$ nên $x=0$.

Vậy $x=0; 3$

Bài 6: 

Để D nguyên thì \(x-3⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;1\right\}\)