cho \(A=\frac{5}{6}.\frac{13}{6^2}....\frac{3^{2n}+2^{2n}}{6^{2n}}\)và \(B=\frac{1}{6^{2n+1}-1}\)với n thuộc N

a) Chứng minh: \(M=\frac{A}{B}\)là số tự nhiên

b) Tìm n để M là số nguyên tố

cho \(A=\frac{7}{3}.\frac{37}{3^2}....\frac{6^{2n}+1}{3^{2n}}\)và \(B=\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3^2}\right)...\left(1+\frac{1}{3^{2n}}\right)\)với n thuộc N

a) Chứng minh: 5A-2B là số tự nhiên

b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A-2B chia hết cho 45

Chứng minh bất đẳng thức

Với n thuộc N, chứng minh \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}>\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\)

Sử dụng kết quả trên, chứng minh: \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}< 2.\sqrt{2012}\)

Chứng minh \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với n thuộc N*

cho \(I=\frac{1.3+2}{4}.\frac{3.5+2}{16}.....\frac{\left(2^{2n}-1\right)\left(2^{2n}+1\right)+2}{2^{2n}}\)với n thuộc N. chứng minh \(I< \frac{4}{3}\)

1) Cho a thỏa mãn: \(a^5-a^3+a=2\) Chứng minh rằng: \(a^6< 4\)

2) Chứng minh rằng: \(\frac{1^2}{1.3}+\frac{2^2}{3.5}+\frac{3^2}{5.7}+...+\frac{n^2}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}=\frac{n}{2}-\frac{n^2}{4n+2}\)

Chứng minh rằng:

a)\(\frac{1.3.5...39}{21.22.23...40}=\frac{1}{2^{20}}\)

b)\(\frac{1.3.5...\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n}=\frac{1}{2^n}\)với n thuộc N*

Cho M=\(\frac{1.3+2}{4}.\frac{3.5+2}{16}.\frac{15.17+2}{256}.\frac{255.257+2}{65536}.....\frac{\left(2^{2n}-1\right)\left(2^{2n}+1\right)+2}{2^{2n}}\)

(n thuộc N)

Chứng minh M<\(\frac{4}{3}\)

Cho a= \(\frac{n+4}{2n-1}\)(n thuộc Z)

a) Tìm các giá trị của n để a là số tự nhiên?

b)Chứng minh rằng: Gía trị của n tìm được ở câu a thì a bằng phân số \(\frac{2n+13}{n+2}\)hoặc bằng \(\frac{n^3}{n+2}\)