Giả sử \(\sqrt{2018}\) là số hữu tỉ

 \(\Rightarrow\) \(\sqrt{2018}\) có thể viết được dưới dạng \(\sqrt{2018}=\frac{m}{n}\left(m;n\in Z;\left(m;n\right)=1;n\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow2018=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2⋮n^2\Rightarrow m⋮n\) Mà \(\left(m;n\right)=1\Rightarrow n=1\) Trái với giả thiết

\(\Rightarrow\) Điều giả sử sai \(\Rightarrow\sqrt{2018}\) là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{2018}\)không phải là số vô tỷ, khi đó :

        \(\sqrt{2018}\)là số hữu tỷ.

\(\Rightarrow\sqrt{2018}=\frac{m}{n}\left(m,n\inℕ^∗\right);\left(m.n\right)=1\)

\(\Rightarrow2018=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\)

\(\Rightarrow2018.n^2=m^2\)

\(\Rightarrow m^2⋮2018\)

\(\Rightarrow m^2⋮2\left(2018⋮2\right)\)

\(\Rightarrow m⋮2\)( Vì 2 là số nguyên tố )

\(\Rightarrow m=2k\left(k\inℕ\right)\)

Do đó : \(2018.n^2=\left(2k\right)^2\)

          \(\Rightarrow2018.n^2=4k^2\)

          \(\Rightarrow1009.n^2=2k^2\)

           \(\Rightarrow1009.n^2⋮2\)

           \(\Rightarrow n^2⋮2\)( vì \(\left(1009,2\right)=1\))

            \(\Rightarrow n⋮2\)( Vì 2 là số nguyên tố )

Như vậy : \(m⋮2;n⋮2\)trái với \(\left(m,n\right)=1\)

Chứng tỏ điều giả sử ko xảy ra.

Vậy \(\sqrt{2018}\)là số vô tỷ

Lê Minh Cường

Cm \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ

    Giải

Giả sử \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ thì khi đó \(\sqrt{5}\) được viết dưới dạng \(\frac{m}{n}\)

\(\sqrt{5}=\frac{m}{2}\Rightarrow5=\frac{m^2}{n^2}\)   ( * ) 

Ở đẵng thức ( * ) cm m² \(⋮\) 5 => m \(⋮\)5

Đặt m = 5k ta có : m² = 25k²        ( **) 

Từ ( * ) và ( ** ) suy ra : 

5n² = 25k² => n² = 5k²                           ( ***) 

Đẳng thức ( ***) cm n² \(⋮\)5 mà 5 là số nguyên tố nên n \(⋮\)5

Vậy m,n chia hết cho 5 nên \(\frac{m}{n}\) chưa thể tối giản ( trái với gt ) nên \(\sqrt{5}\) là số hữu tỉ. 

P/s : có 1 câu hỏi mà bảo dài dòng tek!?

VD: \(\sqrt{5}\)là số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{5}=\frac{a}{b}\left(a,b\in z;b\ne0\right)\)

Tổng quát VD \(\left(a;b\right)=1\)

\(\Rightarrow5=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2=5b^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮5\)

Ta có : 5 số nguyên tố

\(\Rightarrow a⋮5\)

\(\Rightarrow a^2⋮25\)

\(\Rightarrow5b^2⋮25\)

\(\Rightarrow b^2⋮5\)

\(\Rightarrow b⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\)

\(\Rightarrow\)giả sử bị sai

\(\Rightarrow\sqrt{5}\)là số vô tỷ

thanks nha I have a crazy idea

tương tự ví dụ 11, trang 22, Sách Nâng cao và phát triển Toán 7,

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ 

Ta có :

\(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\) (a,b nguyên tố cũng nhau)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=7\)

\(\Leftrightarrow a^2=7b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2⋮7\) Mà 7 là số nguyên tố 

\(\Leftrightarrow a⋮7\) \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2⋮49\)

\(\Leftrightarrow7b^2⋮49\)

\(\Leftrightarrow b⋮7\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow a,b\) không ngto cùng nhau

\(\Leftrightarrow\) Giả sử sai

Vậy..