x²+x(y-1)-2y-5=0

\(\Delta=\left(y-1\right)^2+4\left(2y+5\right)=y^2+6y+21\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\)phải là số chính phương

=> y²+6y+21=k²(k thuộc Z)

=> (y+3)²-k²=-12

=> (y+3+k)(y+3-k)=-12

Đến đây bạn lập bảng rồi giải nhé

Chúc hok tốt!!

\(x^2+xy-x-2y-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+x+xy-2y-2-3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)+y\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=3\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x-2\right)=3\)

Xét nghiệm nguyên nhé bạn

cám ơn các bạn nhiều

Bạn tham khảo sol ở đây nhé !

IMO ShortList 1998, number theory problem 1

Hơi bị gắt đó,IMO 1998 ( mặc dù đề lệch 1 tẹo so với IMO )

Rảnh thì tớ sẽ sol cho các bạn xem,cậu vào TKHĐ của tớ là thấy link nhé !!!

\(\Leftrightarrow4.25^x-4.5^x+1=4y^4+8y^3+12y^2+16y+41\)

\(\Leftrightarrow\left(2.5^x-1\right)^2=4y^4+8y^3+12y^2+16y+41\)

Ta có:

\(4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+2\right)^2+8y+37>\left(2y^2+2y+2\right)^2\)

\(4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+5\right)^2+4\left(y-1\right)\left(3y+4\right)\ge\left(2y^2+2y+5\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+3\right)^2\\4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+4\right)^2\\4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+5\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2-y-8=0\left(\text{không có nghiệm nguyên}\right)\\8y^2-25=0\left(\text{không có nghiệm nguyên}\right)\\\left(y-1\right)\left(3y+4\right)=0\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow y=1\)

Thế vào pt ban đầu: \(25^x-5^x=20\)

Đặt \(5^x=t>0\Rightarrow t^2-t-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\\t=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5^x=5\Rightarrow x=1\)

\(PT\Leftrightarrow y^2\left(x^2-6\right)-2xy-x^2=0\)

Xét \(\Delta'=x^2+x^2\left(x^2-6\right)\)\(=x^4-5x^{^2}\)

Do x,y nguyên nên \(\Delta'\)là số chính phương

Đặt \(x^4-5x^2=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-5\right)=k^2\)

\(\Rightarrow x^2-5\)là số chính phương

Đặt \(x^2-5=a^2\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=5\)

Xét TH là tìm được nghiệm nhé :P