Ta có \(\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{16}{9}=\left(\pm\frac{4}{3}\right)^2\)

\(\frac{x}{y}\)dương nên \(\frac{x}{y}=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{4y}{3}\)

Thay \(x=\frac{4y}{3}\)vào \(x^2+y^2=100\)ta được

\(\left(\frac{4y}{3}\right)^2+y^2=100\)

\(\frac{16}{9}.y^2+y^2=100\)

\(y^2.\left(\frac{16}{9}+1\right)=100\)

\(y^2.\frac{25}{9}=100\)

\(y^2=100:\frac{25}{9}=36\)

\(y=6\)( vì y dương  )

\(\frac{x}{9}-\frac{3}{y}=\frac{1}{18}\)

\(\frac{x}{9}-\frac{1}{18}=\frac{3}{y}\)

\(\frac{2x}{18}-\frac{1}{18}=\frac{3}{y}\)

\(\frac{2x-1}{18}=\frac{3}{y}\)

\(\left(2x-1\right)y=18.3=54\)

=> 2x - 1 ; y \(\in\)Ư(54) ={...}

Làm nốt e nhé, chăm chỉ lên ! 

có x+y=2021=>y=2021-x

=>x.y=x(2021-x)=2021x-\(x^2\)

=>P=2021x-\(x^2\)

=> -P=\(x^2-2021x\)\(=x^2-2.\dfrac{2021}{2}.x+\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\)=\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\)

lại có x,y nguyên dương=>x,y\(\ge\)1

có x+y=2021=>x,y\(\le\)2020

=>\(x\le2020\)

=>\(x-\dfrac{2021}{2}\le2020-\dfrac{2021}{2}\)

<=>\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2\le\left(\dfrac{2019}{2}\right)^2\)

=>\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\le\)\(\left(\dfrac{2019}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2=-2020\)

<=>\(-P\le-2020< =>P\ge2020\)

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2020\\x=1\end{matrix}\right.\)

vậy MIN P=2020 khi x=2020 hoặc x=1

bổ sung đoạn cuối dấu với x=2020 thì y=1

với x=1 thì y =2020

Ta có :

\(\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{16}{9}\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}=\frac{16}{9}\Rightarrow\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\frac{x^2}{16}=\frac{y^2}{9}=\frac{x^2}{4^2}=\frac{y^2}{3^2}=\frac{x^2+y^2}{16+9}=\frac{100}{25}=4=\left(\pm2\right)^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(±2\right)^2.4^2\\y^2=\left(\pm2\right)^2.3^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(\pm2.4\right)^2\\y^2=\left(\pm2.3\right)^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(\pm8\right)^2\\y^2=\left(\pm6\right)^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm8\\y=\pm6\end{cases}}\)

Mà x và y cùng dấu => ( x , y ) ∈ { ( -8 ; -6 ) ; ( 8 ; 6 ) }

\(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)

Vì \(x,y>0\Rightarrow\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)

Mà \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)

Nên \(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\) 

\(\Leftrightarrow\left(x+y+x-y-6\right)\left(x+y-x+y+6\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-6\right)\left(2y+6\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

Do đó \(x-3\)và \(y+3\)trái dấu với nhau.

Mà \(y>0\Rightarrow y+3>0\)

Do đó \(x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

Mà \(x>0\)nên \(x\in\left\{1;2\right\}\)

Với \(x=1\)thì phương trinh trở thành:

\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=\left(-y-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1-y^2-10y-25=0\)

\(\Leftrightarrow y^3+2y^2-7y-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^3-3y^2\right)+\left(5y^2-15y\right)+\left(8y-24\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(y-3\right)+5y\left(y-3\right)+8\left(y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+5y+8\right)\left(y-3\right)=0\)

Mà \(y>0\Rightarrow y^2+5y+8>0\), do đó:

\(y-3=0:\left(y^2+5y+8\right)\)

\(\Leftrightarrow y-3=0\)

\(\Leftrightarrow y=3\)(thỏa mãn \(y>0\))

Với \(x=2\), phương trình trở thành:

\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\)(1)

\(\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=\left(-y-4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\)

\(\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8-y^2-8y-16=0\)

\(\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)

Vì \(y>0\left(y\in Z\right)\)nên \(y\ge1\)

Do đó\(y^3+5y^2+4y\ge1+5+4=10\)

\(\Rightarrow y^3+5y^2+4y-8\ge2>0\)

Do đó phương trình (1) vô nghiệm.

Vây phương trình có tập nghiệm (x;y) = (1;3)

(tin thứ 1 và 2 tớ ghi \(y>0\), nhớ viết thêm \(y\in Z\)sau mỗi \(y>0\)nhé).