Ta có DB/AB = DC/AC =>3/AB=4/AC => 4AB=3AC => AB=3/4 AC 
ta lại có BC=3+4=7 cm 
tam giác ABC vuông tại A, theo định lí pitago, ta có BC^2 = AB^2 + AC^2

=> 49= 9/16AC^2 + AC^2 => AC=28/5 => AB=21/5

a:

Sửa đề tam giác DEC

Xet ΔABC vuông tại A và ΔDEC vuông tại D có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔDEC

b: \(BC=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\left(cm\right)\)

\(AD=\dfrac{2\cdot3\cdot5}{3+5}\cdot cos45=\dfrac{15\sqrt{2}}{8}\left(cm\right)\)

AD là phân giác

=>BD/AB=CD/AC

=>\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{\sqrt{34}}{8}\)

=>\(BD=\dfrac{3\sqrt{34}}{8}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=3^2+4^2=25\)

hay BC=5(cm)

Xét ΔABC có

AD là đường phân giác trong ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}\)

mà BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: \(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{5}{7}\)

hay \(BD=\dfrac{15}{7}cm\)

Vậy: \(BD=\dfrac{15}{7}cm\)

 BÀI 1:

a)

·         Trong ∆ ABC, có:     AB²= BC.BH

                           Hay BC= =

·         Xét ∆ ABC vuông tại A, có:

    AB²= BH²+AH²

↔AH²= AB² – BH²

↔AH= =4 (cm)

b)

·         Ta có: HC=BC-BH

      àHC= 8.3 - 3= 5.3 (cm)

·         Trong ∆ AHC, có:    

·                                         

Bài 1:

a)  Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{AB^2}{BH}\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{5^2}{3}=\frac{25}{3}\)

Áp dụng Pytago ta có:

     \(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow\)\(AH=4\)

b)  \(HC=BC-BH=\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{\left(\frac{16}{3}\right)^2}=\frac{25}{256}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{HE}=\frac{5}{16}\)

\(\Rightarrow\)\(HE=\frac{16}{5}\)