a: Xét tứ giác BECD có

F là trung điểm chung của BC và ED

=>BECD là hình bình hành

b: BECD là hình bình hành

=>BD//CE và BD=CE

BD//CE

=>BD//AE

Ta có: BD=CE

CE=AE

Do đó: BD=AE

Xét tứ giác ABDE có

BD//AE

BD=AE

Do đó: ABDE là hình bình hành

Hình bình hành ABDE có \(\widehat{BAE}=90^0\)

nên ABDE là hình chữ nhật

c: Xét ΔABC có

AF,BE là các đường trung tuyến

AF cắt BE tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔBAC

=>\(EK=\dfrac{1}{3}BE\)

Ta có: ABDE là hình chữ nhật

=>AD cắt BE tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AD và BE

I là trung điểm của BE

=>\(EI=\dfrac{1}{2}EB\)

Ta có: EK+KI=EI

=>\(KI=EI-EK=\dfrac{1}{2}EB-\dfrac{1}{3}EB=\dfrac{1}{6}EB\)

mà EB=DC(BDCE là hình bình hành)

nên \(KI=\dfrac{1}{6}DC\)

=>\(\dfrac{KI}{DC}=\dfrac{1}{6}\)

Sửa đề: M,N lần lượt là trung điểm của AH,DH

a: Xét ΔHAD có

M,N lần lượt là trung điểm của HA,HD

=>MN là đường trung bình của ΔHAD

=>MN//AD và \(MN=\dfrac{AD}{2}\)

b: Sửa đề: Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh BMNI là hình bình hành

Ta có: \(MN=\dfrac{AD}{2}\)

AD=BC

\(BI=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó: MN=BI

Ta có: MN//AD

AD//BC

Do đó: MN//BC

=>MN//BI

Xét tứ giác BMNI có

BI//MN

BI=MN

Do đó: BMNI là hình bình hành

c: Ta có: MN//AD

AD\(\perp\)AB

Do đó: NM\(\perp\)AB

Xét ΔNAB có

NM,AH là các đường cao

NM cắt AH tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔNAB

=>BM\(\perp\)AN

mà BM//NI

nên AN\(\perp\)NI

=>ΔANI vuông tại N

Sửa lại đề bài \(\widehat{M}=\widehat{Q}=x\)

Xét tứ giác \(MNPQ:\)

\(\widehat{M}+\widehat{Q}+\widehat{N}+\widehat{P}=360^o\)

\(\Rightarrow x+x+2x+2x=360^o\)

\(\Rightarrow6x=360^o\)

\(\Rightarrow x=360^o:6=60^o\)

Vậy \(x=60^o\)

Vì △ABC cân tại A ⇒ AB=AC
Lại có D là điểm đối xứng của A qua BC ⇒ AH=HD=1/2AD (AH là đường cao)⇔ H là trung điểm AD (1)
Mà △ABC cân ⇒AH là đường trung trực △ABC⇔AH ⊥ BC hay AD ⊥ BC (2) và H là trung điểm BC(3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ ABCD là hình thoi (dhnb)

`(x^2)/(3x+6) + (4x+4)/(3x+6)`

`= (x^2 + 4x + 4)/(3x+6)`

`= (x+2)^2/(3*(x+2))`

`= (x+2)/3`

`2/x + 3/(x+1) - (10x + 7)/(x*(x+1))`

`= (2x + 2)/(x*(x+1)) + (3x)/(x*(x+1)) - (10x + 7)/x*(x+1))`

`= (2x+2 +3x -10x - 7)/(x*(x+1))`

`= (-5x - 5)/(x*(x+1))`

`= (-5*(x+1))/(x*(x+1))`

`= -5/x`

`x^2 - 3*(x-5) - 25=0`

`=> x^2 - 3x +15 - 25 = 0`

`=>x^2 -3x -10 = 0`

`=>x^2 -5x +2x - 10 = 0`

`=> x(x-5) + 2(x-5) = 0`

`=> (x+2)(x-5) = 0`

TH1:

`x+2 = 0`

`=> x =-2`

TH2:

`x-5=0`

`=> x=5`

Ta có : -7xⁿ⁺¹y⁶ : 4x⁵yⁿ = \(\dfrac{-7}{4}\)x^n-4y^6-n

Do n-4 \(\ge\)0 nên n=4

      6-n \(\ge\)0 nên n=6

      Vậy để -7xⁿ⁺¹y⁶  \(⋮\) 4x⁵yⁿ thì n=4 hoặc n=6