Ôn tập chương II

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Dễ dàng chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\\\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3MI\end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện đề bài, ta có \(MG=MI\). Do đó M nằm trên đường trung trực của GI (cố định).

Vậy tập hợp điểm M thoả điều kiện đề bài là trung trực của đoạn GI.

a: \(\overrightarrow{a}=\left(2;-3\right);\overrightarrow{b}=\left(4;8\right);\overrightarrow{c}=\left(-7;3\right)\)

Tọa độ của \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2+4=6\\y=-3+8=5\end{matrix}\right.\)

Tọa độ của \(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\cdot2-2\cdot4+5\left(-7\right)=-37\\y=3\cdot\left(-3\right)-2\cdot8+5\cdot3=-10\end{matrix}\right.\)

b: \(\overrightarrow{2a}+\overrightarrow{u}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\)

Tọa độ của vecto u là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\cdot2+\left(-7\right)=-11\\y=-2\cdot\left(-3\right)+3=6+3=9\end{matrix}\right.\)

c: Đặt \(\overrightarrow{c}=x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-7=2x+4y\\3=-3x+8y\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x+8y=-14\\-3x+8y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=-17\\-3x+8y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{17}{7}\\8y=3x+3=\dfrac{-51}{7}+3=-\dfrac{30}{7}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{17}{7}\\y=-\dfrac{30}{7\cdot8}=-\dfrac{30}{56}=-\dfrac{15}{28}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{c}=-\dfrac{17}{7}\cdot\overrightarrow{a}+\dfrac{-15}{28}\cdot\overrightarrow{b}\)

d: \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{13}\)

\(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\left(11;5\right)\)

=>\(\left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{146}\)

e: \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cdot4+\left(-3\right)\cdot8=-24+8=-16\)

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(-2;-11\right);\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(-3;11\right)\)

\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\left(-2\right)\cdot\left(-3\right)+\left(-11\right)\cdot11=-121+6=-115\)

f: \(cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{-16}{\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}\cdot\sqrt{4^2+8^2}}\)

\(=\dfrac{-16}{\sqrt{13}\cdot4\sqrt{5}}=-\dfrac{4}{\sqrt{65}}\)

Có 20 cây số lẻ (1;3;5...;39) và 20 cây số chẵn (2;4;...;40)

Để tổng 5 cây là chẵn \(\Rightarrow\) số cây lẻ phải chẵn

\(\Rightarrow\) Các trường hợp thỏa mãn gồm: 0 lẻ 5 chẵn, 2 lẻ 3 chẵn, 4 lẻ 1 chẵn

\(\Rightarrow C_{20}^5+C_{20}^2.C_{20}^3+C_{20}^4.C_{20}^1\) cách chọn thỏa mãn

Để cho dễ tính toán, ta coi như việc chọn 2 số là theo thứ tự

Không gian mẫu: \(A_{90}^2\)

Chọn số thứ nhất: \(C_{90}^1=90\) cách

Hàng đơn vị số thứ 2 có 1 cách chọn (giống hàng đơn vị số thứ nhất), hàng chục số thứ 2 có 8 cách chọn (khác hàng chục số thứ hai và 0)

\(\Rightarrow90.1.8\) cách chọn 2 số thỏa mãn yêu cầu

Xác suất: \(P=\dfrac{90.1.8}{A_{90}^2}\)

Bài này thực ra rất dễ chọn, vì 2 nữ ở Lý hết rồi. Do đó chọn 2 nữ có 1 cách

Giờ chọn 2 nam (có nữ + lý nên giờ có Toán là được): có 2 trường hợp: 2 nam cùng toán, hoặc 1 nam toán 1 nam lý.

Vậy là xong