Chương IV - Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

a: Δ=(-2m)^2-4(m^2-m-1)

=4m^2-4m^2+4m+4=4m+4

Đểphương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m+4>0

=>m>-1

b: \(\sqrt{x_1^2+2mx2+m^2-5m}=\left|x_1\cdot x_2+2\left(x_1+x_2\right)-12\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)+m^2-5m}=\left|m^2-m-1+4m-12\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2+m^2-5m}=\left|m^2+3m-13\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2m\right)^2+m^2-5m-m^2+m+1}=\left|m^2+3m-13\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4m^2-4m+1}=\left|m^2+3m-13\right|\)

=>m^2+3m-13=2m-1 hoặc m^2+3m-13=1-2m

=>m^2+m-12=0 hoặc m^2+5m-14=0

=>(m+4)(m-3)=0 hoặc (m+7)(m-2)=0

=>\(m\in\left\{3;2\right\}\)

a: 

PTHHĐGĐ là:

x^2-2x-m^2+2m=0

Δ=(-2)^2-4(-m^2+2m)

=4+4m^2+8m=(2m+2)^2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2m+2<>0

=>m<>-1

x1^2+2x2=3m

=>x1^2+x2(x1+x2)=3m

=>x1^2+x2^2+x1x2=3m

=>(x1+x2)^2-x1x2=3m

=>2^2-(-m^2+2m)=3m

=>4+m^2-2m-3m=0

=>m^2-5m+4=0

=>m=1 hoặc m=4

a: PTHĐGĐ là:

x^2-(2m+1)x+2m-4=0

Δ=(2m+1)^2-4(2m-4)

=4m^2+4m+1-8m+16

=4m^2-4m+17=(2m-1)^2+16>=16>0 với mọi m

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: x1+x2=2m+1;x1x2=2m-4

HK=4

=>|x1-x2|=4

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=4\)

=>\(\sqrt{4m^2+4m+1-8m+16}=4\)

=>4m^2-4m+17=16

=>m=1/2

a: Khi m=1 thì phương trình sẽ là;
x^2-2x=0

=>x=0 hoặc x=2

b: 1/x1+3/x2=2

=>\(\dfrac{x_2+3x_1}{x_1x_2}=2\)

=>3x1+x2=2m-2

mà x1+x2=2m

nên 2x1=-2

=>x1=-1

x1+x2=2m

=>x2=2m+1

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=2x-m+3\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0\left(1\right)\)

\(a=1;b=-2;c=m-3\Rightarrow b'=\dfrac{b}{2}=-1\)

\(\Delta'\left(1\right)=b'^2-ac=1^2-1.\left(m-3\right)=-m+4\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (hay (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt) thì \(\Delta'\left(1\right)>0\Rightarrow-m+4>0\Leftrightarrow m< 4\)

Vì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ nên x₁,x₂ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Theo định lí Viete ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-2}{1}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-3}{1}=m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2\left(x_2+2\right)+x_2^2\left(x_1+2\right)\le20\)

\(\Rightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)\le20\)

\(\Rightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]\le20\)

\(\Rightarrow\left(m-3\right).2+2\left[2^2-2\left(m-3\right)\right]\le20\)

\(\Leftrightarrow m-3+4-2\left(m-3\right)-10\le0\)

\(\Leftrightarrow-m-3\le0\Leftrightarrow m\ge-3\)

Vậy \(-3\le m\le4\)

4:

x1^2+x2*4(m+1)+3m^2+2m-5=9

=>x1^2+x2(x1+x2)+x1x2=9

=>(x1+x2)^2=9

=>x1+x2=3 hoặc x1+x2=-3

=>4m+4=3 hoặc 4m+4=-3

=>m=-1/4 hoặc m=-7/4

Cái dữ kiện đầu tiên bị dư rồi bạn, chỉ cần dựa vào dữ kiện thứ hai thì tìm luôn được số cần tìm á.

- Gọi số có hai chữ số cần tìm là \(\overline{ab}\left(0< a\le9;0\le b\le9;a,b\in N\cdot\right)\)

Vì nếu thêm chữ số 1 vào bên trái số đó ta được số có 3 chữ số bằng 38/13 số phải tìm nên ta có:

\(\overline{1ab}=\dfrac{38}{13}\overline{ab}\) \(\Rightarrow100+\overline{ab}=\dfrac{38}{13}\overline{ab}\)

\(\Rightarrow\overline{ab}=52\) 

Vậy số cần tìm là 52.

\(\left(m-2\right)x^4-2mx^2+m+4=0\left(1\right)\) \(\left(m\ne2\right)\)

Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\). Khi đó phương trình (1) trở thành:

\(\left(m-2\right)t^2-2mt+m+4=0\left(2\right)\)

a) Ta có: \(\Delta'\left(2\right)=m^2-\left(m-2\right)\left(m+4\right)=m^2-\left(m^2+2m-8\right)=-2\left(m-4\right)\)

Để phương trình (2) có 2 nghiệm thì \(\Delta'\left(2\right)\ge0\) hay \(-2\left(m-4\right)\ge0\Rightarrow m\le4\).

Theo định lí Viete cho phương trình (2) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=\dfrac{2m}{m-2}\\t_1t_2=\dfrac{m+4}{m-2}\end{matrix}\right.\). Mặt khác \(t_1,t_2\ge0\) nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m}{m-2}\ge0\\\dfrac{m+4}{m-2}\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m>2\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>2\\m\le-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-4\\m>2\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với điều kiện \(m\le4\) ta có: \(\left[{}\begin{matrix}m\le-4\\2< m\le4\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(m\le-4\) hay \(2< m\le4\) thì phương trình (1) có 4 nghiệm.

b) Ta nhận xét: với mỗi nghiệm trong phương trình (2) thì cho ra 2 nghiệm đối nhau của phương trình (1).

Do đó bình phương của 2 nghiệm dương trong phương trình (1) không thể cùng bằng 1 nghiệm trong phương trình (2).

Vì h,k là 2 nghiệm dương của phương trinh (1) nên ta giả sử \(t_1=h^2;t_2=k^2\).

Trong phương trình (2) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=\dfrac{2m}{m-2}\\t_1t_2=\dfrac{m+4}{m-2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=2+\dfrac{4}{m-2}\\t_1t_2=1+\dfrac{6}{m-2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3\left(t_1+t_2\right)-2t_1t_2=3.\left(2+\dfrac{4}{m-2}\right)-2.\left(1+\dfrac{6}{m-2}\right)=4\)

\(\Rightarrow3\left(h^2+k^2\right)-2h^2k^2-4=0\)

Đây là hệ thức liên hệ giữa h và k độc lập với m.

b: \(y_1=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2^2-2\cdot\left(-4\right)}{2}=\dfrac{4+8}{2}=6\)

\(y_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=2^2-2\cdot\left(-4\right)=4+8=12\)

y1=6; y2=12

=>Phương trình cần tìm là: y^2-18y+72=0