Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

a) Xét tam giác SAB và tam giác SAD có: 

+) Chung SA

+) \(AB=AD\)

+) \(\widehat{SAB}=\widehat{SAD}=90^0\) (Vì \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AD\end{matrix}\right.\) )

\(\Rightarrow\Delta SAB=\Delta SAD\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SAB}=\widehat{SAD}\)

\(\Rightarrow\Delta SAH=\Delta SAK\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow SH=SK\)

Mà SB=SD (Do \(\Delta SAB=\Delta SAD\))

\(\Rightarrow\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SD}\)

\(\Rightarrow\)HK||BD( Áp dụng Talet cho tam giác SBD)

b)Đặt SA=x, AB=y

Gọi O là tâm của đáy (ABCD), trong mp(SAC) cho SO cắt AI tại J

Ta tính được \(SC=\sqrt{x^2+2y^2}\) và SO=\(\sqrt{x^2+\dfrac{y^2}{2}}\)

Áp dụng định lí cos cho tam giác OSC có:

\(2SO.SC.\cos OSC=SO^2+SC^2-OC^2=x^2+\dfrac{y^2}{2}+x^2+2y^2-\dfrac{y^2}{2}=2x^2+2y^2\)

\(\Rightarrow SO.SC.cosOSC=x^2+y^2\)

\(\dfrac{SJ}{SO}=\dfrac{SI}{SO.cosOSC}=\dfrac{SA^2}{SC.SO.cosOSC}=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\left(1\right)\)

\(SK=\dfrac{SA^2}{SD}\Rightarrow\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{SA^2}{SD^2}=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), áp dụng định lí Talet đảo cho tam giác SDO ta có KJ||DO hay KJ||BD

Chứng minh tương tự ta có: JH||BD

Mà HK||BD nên K,H,J thẳng hàng 

\(\Rightarrow\exists1\) mặt phẳng chứa 4 điểm A,H,I,K (Vì AI cắt HK tại J)

\(\Rightarrow I\in mp\left(AHK\right)\)(đpcm)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AC\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\end{matrix}\right.\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Mà HK||BD

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\left(đpcm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AE\)

Mà \(AE\perp SC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow AE\perp SB\)

Đồng thời \(AF\perp SB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow SB\perp\left(AEF\right)\)

O' là điểm nào em nhỉ?

Câu này đề bị lỗi hiển thị rồi

a: BD\(\perp\)AC(ABCD là hình vuông)

BD\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

AC,SA cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BD\(\perp\)(SAC)

b: BC\(\perp\)BA(ABCD là hình vuông)

BC\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

BA,SA cùng thuộc mp(SAB)

Do đó: BC\(\perp\)(SAB)

=>BC\(\perp\)BS

=>ΔSBC vuông tại B

CD\(\perp\)AD(ABCD là hình vuông)

CD\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

Do đó: CD\(\perp\)(SAD)

=>CD\(\perp\)SD

=>ΔSDC vuông tại D

Ta có: DA\(\perp\)AB(ABCD là hình vuông)

DA\(\perp\)SA(Do SA\(\perp\)(ABCD))

AB,SA cùng thuộc mp(SAB)

Do đó: DA\(\perp\)(SAB)

=>\(\widehat{SD;\left(SAB\right)}=\widehat{SD;SA}=\widehat{DSA}\)

Xét ΔSAD vuông tại A có \(tanDSA=\dfrac{AD}{AS}=\dfrac{a}{a}=1\)

nên \(\widehat{DSA}=45^0\)

=>\(\widehat{SD;\left(SAB\right)}=45^0\)

Ta có: CA\(\perp\)AB

CA\(\perp\)SB(SB\(\perp\)(ABC))

SB,AB đều thuộc mp(SAB)

Do đó: CA\(\perp\)(SAB)

\(\widehat{\left(SC;\left(SAB\right)\right)}=\widehat{SC;SA}=\widehat{CSA}\)

Ta có: ΔSBA vuông tại B

=>\(SB^2+BA^2=SA^2\)

=>\(SA^2=2a^2+a^2=3a^2\)

=>\(SA=a\sqrt{3}\)

Vì ΔABC vuông cân tại A nên AB=AC=a

ΔABC vuông cân tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(BC=a\sqrt{2}\)

ΔSBC vuông tại B

=>\(BS^2+BC^2=SC^2\)

=>\(SC^2=\left(a\sqrt{2}\right)^2+\left(a\sqrt{2}\right)^2=4a^2\)

=>SC=2a

Xét ΔSAC có \(cosASC=\dfrac{SA^2+SC^2-AC^2}{2\cdot SA\cdot SC}\)

\(=\dfrac{3a^2+4a^2-a^2}{2\cdot2a\cdot a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(\widehat{ASC}=30^0\)

=>\(tan\alpha=tanASC=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\widehat{\left(SC;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)

Ta có: ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=a^2+\left(3a\right)^2=10a^2\)

=>\(AC=a\sqrt{10}\)

Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\sqrt{3}\)

=>\(\widehat{SCA}=60^0\)

=>\(\widehat{SC;\left(ABC\right)}=60^0\)

\(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)

SA\(\perp\)(ABCD)

nên SA\(\perp\)AC

=>ΔSAC vuông tại A

Vì ABCD là hình vuông

nên \(AC=AB\cdot\sqrt{2}=a\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=a\sqrt{6}\)

Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

nên \(\widehat{SCA}=30^0\)

=>\(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}=30^0\)

\(\widehat{\left(SB;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{BS;BA}=\widehat{SBA}\)

Ta có: ΔACB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=a^2+\left(a\sqrt{2}\right)^2=3a^2\)

=>\(AB=a\sqrt{3}\)

Xét ΔSAB vuông tại A có \(tanSBA=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

nên \(\widehat{SBA}=30^0\)