Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

a. Có thể a trùng b

b. Đúng

c. Có vô vàn trường hợp ko đúng, dễ thấy nhất là a thuộc (Q)

d. (P) và (R) có thể trùng nhau nữa

Ủa bài này có vấn đề gì em nhỉ? Khá cơ bản (nhưng thiếu 1 đoạn K là hình chiếu lên đâu, chắc là SD).

Đề bài thiếu dữ liệu liên quan đỉnh S

Gọi E là trung điểm CD \(\Rightarrow CD\perp\left(SOE\right)\)

Kẻ \(OH\perp SE\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\)

Qua A kẻ đường thẳng song song OH, cắt CH kéo dài tại K

\(\Rightarrow AK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow\widehat{ASK}\) là góc giữa SA và (SCD)

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=a\sqrt{3}\)

\(OH=\dfrac{SO.OE}{\sqrt{SO^2+OE^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(AK=2OH=a\sqrt{3}\) (đường trung bình)

\(sin\widehat{ASK}=\dfrac{AK}{SA}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\)

\(AB'=BC'=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\)

\(\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}=\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB'}\right)=AA'^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=2+1.1.cos120^0=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow cos\left(AB';BC'\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}\right|}{AB'.BC'}=\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AH\)

Mà \(AH\perp SB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

b.

Từ H kẻ \(HK\perp SC\) (K thuộc SC) (1)

Do \(AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\) (2)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\)

Mà \(SC=\left(SAC\right)\cap\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AKH}\) là góc giữa (SAC) và (SBC)

\(SC\perp\left(AHK\right)\Rightarrow SC\perp AK\)

\(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC:

\(AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB:

\(AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp HK\Rightarrow\Delta AHK\) vuông tại H

\(sin\widehat{AKH}=\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{AKH}=60^0\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\) (H thuộc SB)

Qua H kẻ đường thẳng d song song BC. Qua D kẻ đường thẳng song song AH cắt d tại K

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AH\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

Mà \(DK||AH\Rightarrow DK\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DSK}\) là góc giữa SD và (SBC)

\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=2a\)

\(DK=AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(SK=\sqrt{SD^2-DK^2}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{DSK}=\dfrac{DK}{SK}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}\)

Đề bài của em bị sai, \(AB=CD=2a\) mới đúng, vì nếu \(AB=CD=a\) thì \(MN=a\sqrt{3}\) không thể tồn tại do nó vi phạm bất đẳng thức tam giác