Bài 6: Ôn tập chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chọn B

Chọn A B C D gì đó cx đc chọn đại đi

Chọn B

Hỏi mãi chiếm hết cả web ko trả lời nữa 

\(y'=4x-\dfrac{1}{x}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(y\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{2}{e^2}+1\) ; \(y\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+ln2\) ; \(y\left(e\right)=2e^2-1\)

\(\Rightarrow y_{max}=2e^2-1;y_{min}=\dfrac{1}{2}+ln2\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3-3x\)

\(f'\left(x\right)=3x^2-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow y=2\\x=1\Rightarrow y=-2\end{matrix}\right.\)

BBT:

Từ BBT ta thấy \(y=3m-m^3\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 3 điểm pb khi:

\(-2< 3m-m^3< 2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m\ne-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\m\ne1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< m< 2\\m\ne\pm1\end{matrix}\right.\)

\(y=\dfrac{2x-1}{x+m}\Rightarrow y'=\dfrac{2m+1}{\left(x+m\right)^2}\)

Hàm nghịch biến trên miền xác định khi:

\(2m+1< 0\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)

\(g'\left(x\right)=2x\left[f'\left(x^2\right)+m\left(2x^2+4x-6\right)\right]\)

\(\Rightarrow f'\left(x^2\right)+m\left(2x^2+4x-6\right)\le0\) với mọi x thuộc (-3;0) (1)

Từ đồ thị ta thấy \(f'\left(x^2\right)\) luôn âm trên R và \(2x^2+4x-6\) âm trên (-3;0) nên nếu \(m\ge0\Rightarrow g'\left(x\right)< 0\) (thỏa mãn)

Xét với \(m< 0\), tại lân cận của \(x=0\) (nghĩa là tại 1 điểm \(x< 0\) và rất gần 0), ta có:

\(g'\left(x\right)\approx f'\left(0\right)-6m\)

\(-3< f'\left(0\right)< -4\), mà \(m< 0\) và m nguyên \(\Rightarrow-6m\ge6\)

\(\Rightarrow g'\left(x\right)>6-4=2>0\) (không thỏa mãn (1)

\(\Rightarrow m\ge0\Rightarrow B\)

\(g'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}f'\left(lnx\right)-2mx+m=\dfrac{1}{x}\left[f'\left(lnx\right)-m\left(2x^2-x\right)\right]\)

Trên \(\left(1;e^2\right)\Rightarrow2x^2-x\) đồng biến \(\Rightarrow2x^2-x>f\left(1\right)=1>0\)

Do đó: \(f'\left(lnx\right)-m\left(2x^2-x\right)\le0\Leftrightarrow f'\left(lnx\right)\le m\left(2x^2-x\right)\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{f'\left(lnx\right)}{2x^2-x}=\dfrac{\left(lnx+1\right)e^{lnx}}{2x^2-x}=\dfrac{\left(lnx+1\right).x}{2x^2-x}=\dfrac{lnx+1}{2x-1}\)

Xét hàm \(h\left(x\right)=\dfrac{lnx+1}{2x-1}\) trên \(\left(1;e^2\right)\)

\(h'\left(x\right)=-\dfrac{2x.lnx+1}{x\left(2x-1\right)^2}< 0\Rightarrow h\left(x\right)\) nghịch biến

\(\Rightarrow h\left(x\right)< h\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow m\ge1\)

\(g'\left(x\right)=2\left(x-1\right)f'\left(x^2-2x+m\right)\)

Dấu \(g'\left(x\right)\) chỉ phụ thuộc dấu của \(f'\left(x^2-2x+m\right)\) khi \(x>1\)

Hàm đồng biến khi \(f'\left(x^2-2x+m\right)\ge0\) ; \(\forall x>1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x+m\le0\\x^2-2x+m\ge2\end{matrix}\right.\) với \(x>1\)

\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{x>1}\left(-x^2+2x+2\right)\Rightarrow m\ge3\)

(\(m\le\min\limits_{x>1}\left(-x^2+2x\right)\) ko tồn tại nghiệm do \(\min\limits_{x>1}\left(-x^2+2x\right)\) không tồn tại)

Chú ý quan trọng nhất: biến của \(g\left(x\right)\) là \(x^2\) nên khi đạo hàm \(g'\left(x\right)\) ta sẽ được:

\(g'\left(x\right)=x.h\left(x\right)\) trong đó \(h\left(x\right)\) là 1 hàm luôn dương trên R (là dạng tổng/tích của \(x^2+a\) luôn dương)

Do đó dấu của \(g'\left(x\right)\) chỉ phụ thuộc dấu của x (1)

\(f'\left(x\right)=3x^2+4\) luôn dương

\(y=g\left(f\left(x\right)\right)\Rightarrow y'=f'\left(x\right).g'\left(f\left(x\right)\right)\) chỉ phụ thuộc dấu của \(g'\left(f\left(x\right)\right)\)

Theo (1) thì dấu \(g'\left(f\left(x\right)\right)\) chỉ phụ thuộc dấu \(f\left(x\right)\)

Nên bài toán thỏa mãn khi \(f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x>2\)

Do \(f\left(x\right)\) đồng biến trên R \(\Rightarrow\min\limits_{x\ge2}f\left(x\right)=f\left(2\right)=m+16\)

\(\Rightarrow m+16\ge0\Rightarrow m\ge-16\)

\(g'\left(x\right)=-f'\left(1-x\right)=\left(1-x\right)^2\left(x+1\right)\left(x^2+4x-5+m\right)\)

\(\left(1-x\right)^2\left(x+1\right)\le0\) với mọi x thuộc khoảng đã cho nên bài toán thỏa mãn khi:

\(x^2+4x-5+m\ge0\) ; \(\forall x< -1\)

\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{x< -1}\left(-x^2-4x+5\right)=9\)