Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Hic, nghĩ mãi ko thể sử dụng cách dựng hình thông thường được. Phải quay về cách sử dụng vecto mặc dù ghét cách này vì phải tính nhiều (nhưng mà nó dễ :D)

Đặt \(\overrightarrow{BA}=a;\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{c}\) 

Giả sử \(\overrightarrow{AM}=x.\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{BN}=y.\overrightarrow{BD'}\)

Ta có: \(\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{b}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-x.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+y.\overrightarrow{BD'}=-x.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AB}+y.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB'}\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\overrightarrow{BA}+\left(y-x\right)\overrightarrow{BC}+y.\overrightarrow{BB'}=\left(x+y-1\right)\overrightarrow{a}+\left(y-x\right)\overrightarrow{b}+y.\overrightarrow{c}\)

MN và DI song song khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\\dfrac{y-x}{-1}=\dfrac{y}{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x=3y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{4}\\x=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy M thuộc đoạn AC sao cho \(AM=\dfrac{3}{4}AC\) \(\Rightarrow\dfrac{AM}{MC}=3\)

N thuộc đoạn BD' sao cho \(BN=\dfrac{1}{4}BD'\)

Bài này dựng hình cũng được thôi, mà hơi làm biếng (do lúc vẽ hình kích thước lấy ko hợp lý nên đoạn kẻ thêm nó tràn ra hơi nhiều, muốn đẹp phải vẽ lại từ đầu nên cho nó next luôn).

Chuyển hình về đồng phẳng bằng cách qua D' kẻ đường song song ID cắt AD kéo dài tại E

Khi đó nối BE cắt AC ta sẽ được M và qua M kẻ đường song song D'E cắt BD' ta sẽ được N

Vậy là xong

.a

Trong mp (BCC'B') nối MN kéo dài cắt BB' tại D

\(\Rightarrow D\in\left(A'MN\right)\)

Trong mp (ABB'A') nối A'D cắt AB tại I

\(\Rightarrow I=AB\cap\left(A'MN\right)\) 

Do CN song song BD, áp dụng Talet:

\(\dfrac{CN}{BD}=\dfrac{CM}{BM}=1\Rightarrow CN=BD\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BB'}=\dfrac{CN}{CC'}=\dfrac{2}{3}\)

Do AA' song song BD, áp dụng Talet:

\(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{AA'}{BD}=\dfrac{BB'}{BD}=\dfrac{3}{2}\)

Các câu này quá nhiều đường nét nên mỗi câu 1 hình riêng cho dễ nhìn:

b.

Trong mp (ACC'A'), gọi E là giao điểm A'N và AC'

Trong mp ((BCC'B'), gọi F là giao điểm BN và C'M

\(\Rightarrow EF=\left(AMC'\right)\cap\left(A'NB\right)\)

c.

Trong mp (ACC'A'), kéo dài AN và A'C' cắt nhau tại G

\(\Rightarrow G\in\left(ANB\right)\cap\left(MA'C'\right)\)

\(F=BN\cap C'M\Rightarrow F\in\left(ANB\right)\cap\left(MA'C'\right)\)

\(\Rightarrow FG=\left(ANB\right)\cap\left(MA'C'\right)\)

Ở hình a, em sử dụng 1 đường thẳng song song AB và CD qua B' và D' lần lượt cắt AA' và CC' tại E và F

Khi đó 2 tam giác A'B'E và C'D'F đồng dạng (3 cặp cạnh song song) nên dễ dàng suy ra đpcm

Hình b tương tự, chỉ cần qua D' kẻ 1 đường song song AD rồi lại đồng dạng là xong

A

tất  cả ???

\(AB\perp\left(BCD\right)\Rightarrow BD\) là hình chiếu vuông góc của AD lên (BCD)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc giữa AD và (BCD)

\(tan\widehat{ADB}=\dfrac{AB}{BD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ADB}=60^0\)