Bài 5. ÔN TẬP CUỐI NĂM

$\begin{cases}xy+x^2=1+y\\xy+y^2=1+x\end{cases}$

`=>xy+x^2-xy-y^2=1+y-1-x`

`<=>x^2-y^2=y-x`

`<=>(x-y)(x+y)+x-y=0`

`<=>(x-y)(x+y+1)=0`

`+)x=y`

`=>x^2+x^2=1+x`

`<=>2x^2-x-1=0`

`<=>x=y=1\or\x=y=-1/2`

`+)x=-y-1`

`=>y(-y-1)+(-y-1)^2=1+y`

`<=>-y^2-y+y^2+2y+1=y+1`

`<=>y+1=y+1` luôn đúng.

Vậy `(x,y) in (1,1),(-1/2,-1/2),(-y-1,y)`

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+6x+2y=0\\x+y+8=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(x+8\right)^2+6x-2\left(x+8\right)=0\\y=-x-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+24=0\\y=-x-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=-6\end{matrix}\right.\\y=-x-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-4;-4\right);\left(-6;-2\right)\right\}\)

\(1+cota+cot^2a+cot^3a\)

\(=1+\dfrac{cosa}{sina}+\dfrac{cos^2a}{sin^2a}+\dfrac{cos^3a}{sin^3a}\)

\(=\left(1+\dfrac{cosa}{sina}\right)\left(1+\dfrac{cos^2a}{sin^2a}\right)\)

\(=\dfrac{sina+cosa}{sina}.\dfrac{sin^2a+cos^2a}{sin^2a}\)

\(=\dfrac{cosa+sina}{sin^3a}\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

\(\vec{MA}.\vec{MB}+\vec{MB}.\vec{MC}+\vec{MC}.\vec{MA}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\right)^2-\dfrac{1}{2}\left(MA^2+MB^2+MC^2\right)\)

\(\ge-\dfrac{1}{2}\left(MA^2+MB^2+MC^2\right)\)

\(=-\dfrac{1}{2}\left[\left(\vec{MG}+\vec{GA}\right)^2+\left(\vec{MG}+\vec{GB}\right)^2+\left(\vec{MG}+\vec{GC}\right)^2\right]\)

\(=-\dfrac{1}{2}\left[3MG^2+2\vec{MG}\left(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\right)+GA^2+GB^2+GC^2\right]\)

\(\ge-\dfrac{1}{2}\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)\)

\(min=-\dfrac{1}{2}\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)\Leftrightarrow M\equiv G\)

Gọi O là giao của hai đường chéo

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\); \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{OB}\)

Suy ra : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=AO^2-OB^2=3^2-4^2=-7\)

\(\Leftrightarrow AB^2.AD^2=49\)\(\Leftrightarrow AD^2=\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow AD=\dfrac{7}{4}\)

\(mx^4+8mx^2+16m+x^3-x^2+4x=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2+4\right)^2+x\left(x^2+4\right)-x^2=0\)

- Với \(m=0\Rightarrow x=0\) là nghiệm (thỏa mãn)

- Với \(m\ne0\Rightarrow x=0\) ko phải nghiệm, pt tương đương:

\(m\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+x+\dfrac{4}{x}-1=0\)

Đặt \(x+\dfrac{4}{x}=t\ge4\) (do chỉ cần xét x không âm)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=mt^2+t-1=0\) (1)

Pt đã cho có nghiệm không âm khi (1) có ít nhất 1 nghiệm \(t\ge4\)

Để (1) có nghiệm \(\Rightarrow\Delta=1+4m\ge0\Rightarrow m\ge-\dfrac{1}{4}\)

Khi (1) có nghiệm, để (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(t_1\le t_2< 4\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}m.f\left(4\right)< 0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(16m+3\right)< 0\\\dfrac{-1}{2m}< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(16m+3\right)< 0\\\dfrac{8m+1}{2m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{3}{16}< m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{1}{8}\\m>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{3}{16}< m< -\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow\) (1) có ít nhất 1 nghiệm \(t\ge4\) khi \(\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{4}\le m\le-\dfrac{3}{16}\\m\ge-\dfrac{1}{8}\\\end{matrix}\right.\)

Gọi diện tích trồng đậu là \(x\ge0\) và diện tích trồng cà là \(8-x\ge0\) (\(100m^2\))

Số công cần thiết: \(10x+15\left(8-x\right)=120-5x\)

\(\Rightarrow120-5x\le90\Rightarrow6\le x\le8\)

Số lãi thu được:

\(S=7x+9\left(8-x\right)=72-2x\le72-2.6=60\) (triệu)

 \(S_{max}=60\) (triệu) khi \(x=6\)

Cần trồng 600m2 đậu và 200m2 cà